경계치

물리적 상황으로부터 파생된 수학문제의 해답을 찾으려면 2가지를 고려해야 한다. ① 해(解)와 그 해의 미분계수가 어떤 범위 내에서 그 값이 어떻게 변하는지를 설명하는 미분방정식을 만족시켜야 하고, ② 해와 그 해의 미분계수가 그외의 추가조건을 만족해야 한다. 이 추가조건은 영역 밖으로부터의 영향(경계치)을 기술하거나 특정시간에서의 해에 대한 정보(초기값) 등을 나타내는데, 그것은 그 계(系)의 축약된 역사를 나타내면서 그 계의 미래행동에 영향을 준다.

경계치 문제의 간단한 예로 0과 1 사이의 어떤 x 값에 대해서도 f'(x)=2x 의 방정식을 만족하는 함수가 있다고 가정하고 이 함수는 x=1일 때 경계치 2를 갖는다고 하면, 함수 f(x)=x²은 이 미분방정식은 만족하지만 경계조건을 만족하지는 않는다. 한편 함수 f(x)=x²＋1은 미분방정식과 경계조건을 모두 만족한다. 미분방정식의 해는 불특정한 상수(常數)들 또는 변수가 여러 개일 때는 함수들을 포함하는데, 그것은 추가조건들에 의해 결정된다.

미분방정식의 해가 임의로 선택된 조건을 항상 만족하지는 못하기 때문에 물리와 수학의 연관성이 중요해진다.

만약 문제가 실제 물리적 상황을 나타낸다면 비록 그 해를 명시적으로 알아낼 수는 없다 하더라도 항상 해를 구할 수 있다는 것은 증명할 수 있다. 편미분방정식일 경우 일반적인 단계의 3가지 추가조건이 있다. ① 진행파(進行波)의 초기위치와 초기속도를 알고 있을 때의 초기값 문제, ② 순간순간 변하지 않는 경계조건을 나타내는 경계치 문제, ③ 해를 구하기 위해서는 초기조건과 그 범위의 경계에서 순차적으로 갖는 값을 알아야 한다는 초기경계치 문제 등이 그것이다.→ 스튀름-리우빌 문제