산술

일반적으로 양의 정수·소수·분수 및 양(量)에 대한 계산을 중심으로 수량에 대한 지식·문제를 취급하는 것을 뜻하지만, 학문적으로는 정수의 성질을 논하는 것을 말하기도 한다. 교과서적인 산술은 대수·기하·삼각법 등의 전단계로, 구체적 수량을 중심으로 일상생활에 쓰이는 계산을 다루지만 초보적인 대수·기하도 포함하게 되므로 산술은 산수 또는 셈법이라고도 한다. 즉 산술은 수학의 일반적인 뜻을 가진다고 할 수 있다.

산술에 쓰이는 수에는 자연수(1, 2, 3, ……)·정수(……,－3,－2,－1,0,1,2,3……)·유리수(정수와 1/3, 0.68, 2 2/3, 3.7, －7/9 등과 같은 양과 음의 분수 또는 소수)·실수(유리수와 √3,π, sin32°와 같은 무리수), 그리고 그외에 여러 가지 색다른 수체계들이 있다. 수체계는 산술로 처리해야 하는 물리적 상황에 따라 달리 선택된다.

실제로 모든 사회마다 어떤 형태로든 수를 다루는 방법이 었었으며 윈시사회에서는 수체계가 '하나'와 '하나 이상'을 뜻하는 명칭과 같이 단순했을 것이다. 그러나 약 5,000년 전 메소포타미아의 수메르인은 상당한 수준의 산술을 사용했으며, 다른 세계 여러 곳의 사회에서도 정교한 산술체계를 독자적으로 발전시켰다. 오늘날 전세계에서 널리 사용하는 기수법(숫자표기법)은 10을 기수로 하는 자리값체계이며, 아라비아 또는 힌두-아라비아 수체계라 한다.

이 수체계에서 기호의 위치는 기호의 값을 결정한다. 예를 들면 333에서 제일 오른쪽의 3은 3을, 가운데 3은 30을, 그리고 왼쪽의 3은 300을 의미한다. 한편 로마 숫자에서 CCC는 300을 뜻하는데, 각 C는 100을 나타내고 C들의 상호위치는 중요하지 않다. 로마 수체계에서도 기호의 순서에 대한 규칙이 있으며, 순서가 바뀌면 빼기를(예를 들어 XI는 11인 반면, IX는 9임) 뜻하지만, 대체로 위치는 중요하지 않다. 아라비아 수체계와 같은 자리값체계는 기호체계의 경제성과 계산의 효율면에서 명확한 이점이 있으며, 어떤 크기의 숫자라도 이를 나타내기 위해서는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 등 10개의 기호와 소수점만 있으면 된다.

앞에서 언급한 수 등을 이용하여 다루는 산술은 다음과 같이 2가지로 구별할 수 있다. 즉 일정한 수를 쓰는 계산을 뜻하는 일반적인 '산수'와 대수적 계산이라고도 하는 알파벳 문자를 써서 나타내는 수의 계산인 '문자계산'으로 나눌 수 있는데, 그 어느 경우에도 계산에 대해서는 덧셈·곱셈·뺄셈·나눗셈의 4개 기본연산이 있다. 산술에는 복소수(復素數)와 4원수(四元數)의 산술이나 정수론과 같은 난해한 주제도 있지만, 실제로는 정수·유리수의 산술과 이들과 실수체계의 관계만으로도 충분하다.