리만 기하학
다른 표기 언어 Riemannian geometry 동의어 타원기하학, elliptic geometry요약 타원기하학이라고도 하며, 유클리드의 5번째 공준을 완전히 부정하고 2번째 공준마저 수정한 비(非)유클리드 기하학 가운데 하나.
유클리드의 5번째 공준에서는 주어진 직선 밖의 한 점을 지나고 이 직선과 평행한 직선은 오직 하나지만, 리만 기하학에서는 주어진 직선과 평행한 직선은 존재하지 않는다. 유클리드의 2번째 공준에서는 유한한 길이를 갖는 직선을 한없이 계속 확장할 수 있는데 이는 리만 기하학에서도 마찬가지이며 특히 이때 모든 직선의 길이가 같다. 그러나 리만 기하학은 다른 3가지 유클리드의 공준을 인정한다(→ 쌍곡기하학).
리만 기하학의 몇몇 정리만이 유클리드 기하학의 정리와 같을 뿐 대부분은 다르다. 예를 들어 유클리드기하학에서 두 평행선은 모든 점에서 거리가 서로 같으나, 리만 기하학에서는 평행선이 존재하지 않는다. 유클리드 기하학에서 3각형 내각의 합은 180°이나 리만 기하학에서는 180°보다 크다. 유클리드 기하학에서는 면적이 다른 다각형들끼리 서로 닮은꼴일 수 있으나, 리만 기하학에서는 면적이 다르고 서로 닮은 다각형이 존재하지 않는다.
비유클리드 기하학에 관한 업적은 1830년경에 처음으로 출판되었으나, 1866년 이 개념을 2차원에서 3차원, 또는 그 이상으로 확장시킨 독일의 수학자 베른하르트 리만에게는 이 출판물이 알려지지 않았었다. 또 독일의 수학자 펠릭스 클라인은 나중에 타원공간(극)과 이중 타원공간(대심)을 구별했다.
베른하르트 리만