라플라스 방정식
다른 표기 언어 Laplace's equation요약 물리학에서 널리 사용하는 2차 편미분방정식.
이 방정식의 해(解) R(조화함수로 알려져 있음)는 전기·자기·중력의 위치 에너지에 관한 문제, 정상상태 온도, 수력학에 관한 문제를 풀 때 자주 쓰인다. 이 방정식의 이름은 18~19세기 프랑스의 수학자·천문학자인 피에르 시몽 라플라스(Pierre-Simon Laplace)의 이름을 따서 붙인 것이다.
라플라스 방정식은 직교좌표계(데카르트 좌표계)에서 미지의 함수 R에 대한 2차 편미분의 합이 0과 같음을 나타낸다.
좌측항의 합은 보통 ▽2R로 표시하는데, 이때 ▽2 기호는 라플라시안 또는 라플라스 연산자(Laplace operator)라고 한다. 많은 물리학적인 체계는 구좌표계나 원통좌표계로 좀더 편리하게 표현할 수 있다. 따라서 라플라스 방정식도 이러한 좌표계로 바꿀 수 있다.
예를 들면 원통형 좌표계에서의 라플라스 방정식은 다음과 같다.