대수학

보통사람에게는 대수학이 초등대수학을 의미하며, 이들은 산술적 수 대신에 변수를 사용한 계산이나 다항방정식의 풀이를 배운다.

그러나 전문 수학자들과 다른 분야의 여러 과학자들에게는 대수학이 현대·고등·추상 대수학을 의미하며, 이들은 덧셈과 곱셈의 성질을 갖는 연산이 존재하는 추상적인 수학구조를 연구한다.

초등대수학과 고등대수학에서 본질적인 것은 계산이 항상 유한개의 항을 사용하고 유한번의 단계만으로 끝나야 한다는 사실이다. 즉 답이 '극한으로' 얻어지는 과정은 대수학에 속하지 않는다. 따라서 1＋x＋x＋x＋……＋x=(1－x)/(1－x)은 대수학에 속하지만, 1＋x＋x＋x＋…＋x＋…=1/(1－x),(|x|＜1)은 대수학에 속하지 않는다.

대수학의 2번째 특징은 추상성이다.

초등대수학조차도 수가 아닌, 수를 표현하는 문자로 계산한다. 고등 대수학에서 문자는 더욱 일반적인 대상을 나타내며, 계산체계도 이와 유사한 성질을 가진 추상적인 체계 그 자체이다.

대수학이 새로운 결과를 얻는 가장 풍부하고 중요한 원천은 대수학에 대한 다른 수학분야의 요구이며, 동시에 공리적이며 추상대수적인 관점으로 인해 다른 분야에서는 단순화된 또는 명확한 업적을 얻을 수 있고, 새로운 결과나 넓게 분리된 분야의 업적 사이에서 뜻하지 않는 연관성을 이끌어낼 기술을 제공받는다.

이러한 수학의 '대수화'는 20세기에 가장 독특한 특성 가운데 하나이다. 사실 이러한 특성 때문에 대수학의 영향력은 그 결과보다 훨씬 더 크다. 동시에 현대대수학에 의해서 초등대수학 과정을 더욱더 확실하게 이해할 수 있었으며, 수학자들은 계산과정에 숨어 있는 원리를 이해할 수 있었다. 초등대수학의 기본 임무는 다항식, 즉 '대수'방정식의 해와 이 방정식을 풀기 위해 사용하는 새로운 수(음수·실수·복소수)를 단계적으로 도입하는 것이다. 행렬식과 행렬은 연립방정식을 간편하게 풀 수 있는 도구이며, 2차방정식의 근의 공식은 2차방정식의 해를 명백하게 구할 수 있으므로 주의를 기울일 만한 가치가 있다.

순열과 조합(전형적인 문제로는 6명의 남자가 중혼을 하지 않고 6명의 여자들과 짝을 이룰 수 있는 방법의 가짓수를 구하는 것이 있음)은 실제로 초등확률론이지만, 대수적인 이론만을 사용하며, 2항계수와 같이 그 공식이 유용할 때도 있다.

한편 지수와 로그는 정의에서 극한(極限)을 사용하므로 대수학에 포함되지 않는다. 물론 초등대수학에서는 이런 함수의 정확한 정의에 중점을 두기보다는 이 함수를 가지고 연산하는 형식적인 규칙, 즉 보편적으로 '대수학'으로 이해되는 형식적인 규칙을 갖는 계산에 중점을 둔다.

현대 대수학은 근본적으로 1830년 에바리스트 갈루아의 연구로 시작하여 계속 발전한 초등대수학에서 나왔으며, 광범위하게 일반화된 형태로 모든 초등대수학과 그 이상을 포함한다.

따라서 초등대수학의 각 주제는 현대대수학 이론들 가운데 하나의 시발점으로 볼 수 있다. 추상적인 주요 연구대상은 군(群), 환(環), 체(體), 벡터 공간, 대수이다.

군에는 1가지 연산(덧셈이나 곱셈)이 있고 환에는 2가지 연산이 있으며, 체는 나눌 수 있는 가환환(加換環)이고 벡터 공간은 어떤 체의 원소로 스칼라곱을 한 가법군(加法群)이며, 대수(또는 선형대수)는 곱의 법칙이 정의된 벡터 공간이다. 환이론은 정수와 다항식의 형식적인 성질에 대한 연구에서 시작했고, 체는 대수방정식의 해를 구하려는 시도에서 발생했다. 군론은 2차방정식의 근의 공식과 유사한 공식으로 5차방정식이 풀려지지 않는다는 증명으로부터 발생했다. 벡터 공간과 행렬이론은 초등대수학의 연립 선형방정식의 해에서 직접 나왔으며, n×n 정방행렬은 대수학의 가장 중요한 예 가운데 하나이다.

대수학은 수학 이외의 다른 과학에도 응용된다.

이론물리학에서 군론과 군표현론은 양자론의 발전(특히 고체물리학과 연관하여)에 중요한 역할을 했다. 불대수(Boolean algebra) 이론은 계산기 설계에 널리 이용되었으며, 사회과학분야에서는 심리학·경제학이 선형계획법이라는 분야에서 행렬과 선형대수를 사용한다. 대수학이 다른 분야에 사용됨으로써 대수학 그 자체의 발전이 촉진되었다.