아인슈타인 계수
[ Einstein coefficient ]
아인슈타인은 그림 1에서와같이 원자나 분자에서 일어나는 빛(전자기파)을 수반하는 전이를 3가지 과정으로 구별하였다.
그림 1. 두 상태 사이에서 일어나는 빛을 수반하는 과정들 ()
빛에 의해 바닥 상태에서 들뜬 상태로 일어나는 전이는 흡광(absorption)이다.1) 전이 속도 w는 들뜬 상태에 존재하는 확률의 변화 속도이며, 빛이 강할수록 흡광에 의한 전이 속도는 크다. 전이 속도는 다음과 같이 나타낼 수 있으며,
@@NAMATH_INLINE@@w\, = \, B_{12} \, \rho@@NAMATH_INLINE@@
여기서 @@NAMATH_INLINE@@B_{12}@@NAMATH_INLINE@@는 흡광에 대한 아인슈타인 계수이다. 진동수 영역 @@NAMATH_INLINE@@\nu\, \sim\, \nu\, + d\nu@@NAMATH_INLINE@@에서 빛의 에너지 밀도는 @@NAMATH_INLINE@@\rho d\nu@@NAMATH_INLINE@@이다. 온도 @@NAMATH_INLINE@@T@@NAMATH_INLINE@@인 물체에서 방출되는 흑체 복사의 에너지 밀도는 플랑크 분포식에 따라 다음과 같이 주어진다.
@@NAMATH_INLINE@@\rho\, = \, \frac{8\pi h\nu^3 /c^3}{exp(h\nu/kT) -\, 1}@@NAMATH_INLINE@@
전체 흡광 속도 @@NAMATH_INLINE@@W@@NAMATH_INLINE@@는 주어진 시간 동안 들뜬 상태로 전이하는 입자의 수는 1개 입자의 전이 속도 @@NAMATH_INLINE@@w@@NAMATH_INLINE@@와 바닥 상태에 존재하는 입자수 @@NAMATH_INLINE@@N_1@@NAMATH_INLINE@@의 곱이다.
@@NAMATH_INLINE@@W \, =\, N_1w@@NAMATH_INLINE@@
아인슈타인은 빛이 들뜬 상태의 입자를 바닥 상태로 전이시킬 수 있다고도 생각하였다. 이 전이가 자극 방출(stimulated emission)이며 그 속도는 다음과 같다.
@@NAMATH_INLINE@@w'\, = \, B_{21} \, \rho@@NAMATH_INLINE@@
여기서 @@NAMATH_INLINE@@B_{21}@@NAMATH_INLINE@@는 자극 방출에 대한 아인슈타인 계수이다. 흡광을 일으키는 빛의 진동수와 자극 방출을 일으키는 빛의 진동수는 같다. 그는 자극 방출이 들뜬 상태에서 빛을 방출하면서 바닥 에너지 상태로 전이하는 유일한 방식이 아니며, 들뜬 상태는 저절로, 빛의 존재와 무관하게 전이하는 자발 방출(spontaneous emission)이 있다고 생각하였다. 따라서 들뜬 상태에서 바닥 상태로 전이하는 전체 속도는 다음과 같다.
@@NAMATH_INLINE@@w'\, = \, A\, +\, B_{21} \, \rho@@NAMATH_INLINE@@
여기서 @@NAMATH_INLINE@@A@@NAMATH_INLINE@@는 자발 방출에 대한 아인슈타인 계수이다. 열적 평형에 도달하면 흡광에 의해 들뜬 상태로 전이하는 속도와 들뜬 상태에서 바닥 상태로 전이하는 속도가 같으며 다음 관계가 성립한다.
@@NAMATH_INLINE@@N_1\, w\, =\, N_2\, w'@@NAMATH_INLINE@@
@@NAMATH_INLINE@@N_1\, B_{12}\, \rho\, =\, N_2\,(A\, +\, B_{21}\, \rho)@@NAMATH_INLINE@@
이 두 식을 에너지 밀도에 대하여 정리하면 다음과 같다.
@@NAMATH_INLINE@@\rho\, =\, \frac{N_2A}{N_1B_{12}\, -\, N_2B_{21}}@@NAMATH_INLINE@@
또한 에너지 차이가 @@NAMATH_INLINE@@h\nu@@NAMATH_INLINE@@인 두 상태에 존재하는 입자수의 비는 볼츠만 식에 따라 다음과 같이 주어진다.
@@NAMATH_DISPLAY@@N_1/N_2\, =\, exp[-(E_2\, -\, E_1)/kT] = exp(-h\nu/kT)@@NAMATH_DISPLAY@@
이를 위 빛의 에너지 밀도 식에 넣으면 그 형태가 플랑크의 흑체 복사식과 같아야 한다. 두 에너지 밀도식을 비교하면 다음 관계가 얻어진다.
@@NAMATH_INLINE@@A = \left ( \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \right ) \, B_{12}@@NAMATH_INLINE@@
@@NAMATH_INLINE@@B_{12}\, =\, B_{21}@@NAMATH_INLINE@@
이 관계식들은 매우 중요한 의미가 있다.2) 자발 방출 계수는 공명 진동수의, 즉 전이에 관련된 상태들의 에너지 차이의 3제곱에 비례한다. 자외선 영역에서 일어나는 전이의 자발 방출 계수는 적외선 영역에 비해 엄청나게 크다. 흡광 계수와 자극 방출 계수는 두 상태가 주어지면 같다. 양자 역학의 도움을 받으면 흡광 계수, 따라서 자극 방출 계수를 계산할 수 있다. 흡광 계수를 계산할 수 있으므로 자발 방출 계수 역시 계산할 수 있다.
참고 내용
1. 빛에 의해 일어나기 때문에 드물지만 자극 흡광 (stimulated absorption)이라는 표현을 쓰기도 한다.
2. 바닥 상태와 들뜬 상태의 미분할도 (degeneracy)가 각각 @@NAMATH_INLINE@@g_1,\, g_2@@NAMATH_INLINE@@이면 @@NAMATH_INLINE@@B_{21}/B_{12}\, =\, g_1/g_2@@NAMATH_INLINE@@이다.
동의어
아인슈타인 계수