타원궤도

타원은 평면 위의 두 점에서 거리의 합이 일정한 점들의 집합으로 만들어지는 곡선인데 이 곡선을 따라 움직이는 궤도를 타원궤도라고 한다. 태양계에서 태양의 중력을 받으며 운동하는 천체의 궤도는 일반적으로 원추곡선 중의 하나인데, 행성처럼 주기운동을 하는 천체는 타원궤도를 따라 공전한다. 타원궤도로 운행하는 천체의 운동은 케플러법칙을 따르며, 6개의 궤도요소로 기술할 수 있다.

목차

두 물체 사이에 중력만 작용한다고 가정하면 물체의 궤적은 원뿔을 평면으로 잘랐을 때 생기는 곡선인 원추곡선(conic section) 중 하나에 속하게 된다(그림 1 참조). 타원궤도는 이 가운데 이심률(eccentricity)이 1보다 작은 폐곡선궤도를 의미한다. 이심률이 0이면 원운동을 하고, 1이면 포물선을 따라 운동한다. 이심률이 1보다 크면 쌍곡선을 따라 운동한다. 원궤도와 타원궤도를 도는 천체의 총에너지는 음(-)의 값을 갖는다. 태양계에서 행성을 비롯한 주기운동을 하는 천체들의 공전궤도는 태양을 두 초점 가운데 하나로 하는 타원(ellipse)이다.

그림 1. 원추곡선. 월뿔을 자르는 단면 방향에 따라 포물선, 타원, 쌍곡선이 된다.(출처: 장헌영/이상성/한국천문학회)

그림 2. 타원의 단반경과 장반경.(출처: 장헌영/이상성/한국천문학회)

수학적으로 타원은 평면 위의 두 초점에서 거리의 합이 일정한 점들의 집합으로 만들어지는 곡선으로 정의된다. 타원 상에서 두 개의 초점을 연결한 선분의 수직이등분선은 짧은 축이며, 두 초점으로부터의 거리의 차가 최대인 두 점을 잇는 선분은 타원의 긴 축이다. 단축의 반을 단반경(semi-minor axis, @@NAMATH_INLINE@@b@@NAMATH_INLINE@@), 장축의 반을 장반경(semi-major axis, @@NAMATH_INLINE@@a@@NAMATH_INLINE@@)이라고 한다. 두 초점이 가까울 수록 타원은 원에 가까워지며, 두개의 초점이 일치했을 때의 타원은 원이 된다. 따라서 원은 타원의 특수한 경우라고 생각할 수 있다. 이심률(eccentricity)은 타원이 찌그러진 정도를 나타낸다.

@@NAMATH_DISPLAY@@e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}.@@NAMATH_DISPLAY@@

표 1에 태양계의 행성과 왜소행성의 이심률이 제시되었다.

궤도동역학에서 궤도를 특정하기 위해 필요한 변수 6개를 말한다. 3차원 공간에서 물체를 정의하기 위해 6개의 독립된 변수가 필요하므로, 여러 세트가 가능하지만 일반적으로 사용되는 세트는 케플러요소(Keplerian elements)인데 다음과 같다(그림 3 참조).

그림 3. 타원궤도와 기준면에 의해 정해지는 궤도요소 6개.(출처: 장헌영/이상성/한국천문학회)

극좌표계(polar coordinate}로 천체의 궤적을 나타내면 다음과 같다:

@@NAMATH_DISPLAY@@r = \frac{ p }{1 + e \cos \theta}.@@NAMATH_DISPLAY@@

여기에서 @@NAMATH_INLINE@@\mu@@NAMATH_INLINE@@는 중심 물체의 질량과 중력상수(gravitational constant)의 곱이고, @@NAMATH_INLINE@@r@@NAMATH_INLINE@@는 중심 천체부터의 거리이고, @@NAMATH_INLINE@@\theta@@NAMATH_INLINE@@는 진근점이각(true anomaly)이다. 또한 @@NAMATH_INLINE@@p@@NAMATH_INLINE@@는 타원의 초점에서 긴축에 수직이되게 곡선까지 잰 거리를 의미하는 세미라투스렉텀(semi-latus rectum)이며 각운동량 @@NAMATH_INLINE@@h@@NAMATH_INLINE@@과는 @@NAMATH_INLINE@@p=h^2/\mu@@NAMATH_INLINE@@ 관계를 만족한다.

타원궤도를 도는 천체의 속도 @@NAMATH_INLINE@@v@@NAMATH_INLINE@@는 활력방정식(vis-viva equation)에 따라 구할 수 있다.

@@NAMATH_DISPLAY@@v = \sqrt{\mu\left({2\over{r}} - {1\over{a}}\right)}.@@NAMATH_DISPLAY@@

여기에서 @@NAMATH_INLINE@@a@@NAMATH_INLINE@@는 궤도장반경이다.

궤도주기 @@NAMATH_INLINE@@P@@NAMATH_INLINE@@는 케플러제3법칙에 의해 구할 수 있다:

@@NAMATH_DISPLAY@@P=2\pi\sqrt{a^3\over{\mu}}.@@NAMATH_DISPLAY@@

따라서, 궤도주기는 이심률과 상관없이 궤도장반경에 의해서만 결정된다.

타원궤도를 도는 천체의 에너지 @@NAMATH_INLINE@@\epsilon@@NAMATH_INLINE@@는 음의 값을 갖는데 다음의 형태로 기술할 수 있디:

@@NAMATH_DISPLAY@@{v^2\over{2}}-{\mu\over{r}}=-{\mu\over{2a}}=\epsilon<0.@@NAMATH_DISPLAY@@

에너지 역시 이심률과 상관없이 궤도장반경에 의해서만 결정된다.

궤도의 전체에너지 @@NAMATH_INLINE@@E@@NAMATH_INLINE@@는 다음과 같다:

@@NAMATH_DISPLAY@@E = - G \frac{M m}{2a}.@@NAMATH_DISPLAY@@

궤도최원점(apoapsis, @@NAMATH_INLINE@@r_a@@NAMATH_INLINE@@)과 궤도최근점(periapsis, @@NAMATH_INLINE@@r_p@@NAMATH_INLINE@@)는 각각

@@NAMATH_DISPLAY@@r_a=\frac{p}{1-e},@@NAMATH_DISPLAY@@

@@NAMATH_DISPLAY@@r_p=\frac{p}{1+e}@@NAMATH_DISPLAY@@

이다. 궤도최원점과 궤도최근점는 각각 @@NAMATH_INLINE@@\theta@@NAMATH_INLINE@@가 @@NAMATH_INLINE@@180^\circ@@NAMATH_INLINE@@와 @@NAMATH_INLINE@@0^\circ@@NAMATH_INLINE@@일 때에 해당한다.