탄성력

탄성력은 외부에서 가해진 힘에 의해서 그 형태가 변형된 물체 내부에서 발생하는 힘으로, 원래 모양으로 되돌아가려는 힘을 뜻한다.

물체가 탄성력을 가지는 이유는 물체마다 다르다. 예를 들어 금속의 경우 외부에서 힘이 가해지면 금속을 이루는 원자 살창(격자)(lattice)구조가 변형되며 에너지가 금속 내부에 쌓이고, 원래 살창구조로 되돌아가려는 힘이 발생하게 된다. 이 때 외부 힘이 제거되면, 원자 살창구조는 발생한 탄성력에 의해 원래 모습으로 돌아가며 쌓였던 에너지를 방출한다. 한편, 고무 등 고분자 물질의 경우에는 탄성력은 그 물질을 이루는 고분자 사슬이 외부 힘에 의해서 늘어나거나 축소되었다가 외부 힘이 제거되면 원래 길이로 돌아가면서 나타난다. 탄성력은 물체가 탄성을 가지는 범위에서만 작용하는데, 현실 세계에서 완벽하게 탄성만을 가지는 물체는 없으며, 대개 일정 정도의 외부 힘에 대해서 까지만 탄성 변형과 탄성력을 보인다.

탄성을 가지는 물체를 탄성체(elasic body) 라고 하며, 용수철이나 고무줄 등이 대표적인 예이다(그림 1). 탄성체라도 작용하는 변형력이 어느 한계 이상 커지면 물체는 탄성력을 상실하고 다시 평형상태로 복원되지 않게 되는데, 그 한계를 탄성한계(elastic limit) 또는 항복점(yielding point)이라고 한다. 탄성 변형의 한계를 벗어나면 영구적인 변형이 일어나고, 이를 소성 변형이라고 한다.

그림 1: 탄성체의 예. 고무줄 ()

탄성력은 탄성체에 작용하는 변형력에 따라 크기가 달라지는데, 변형력이 탄성한계보다 작은 경우 탄성력과 변형력은 서로 비례관계가 있다는 것이 실험적으로 알려져 있다. 이를 훅의 법칙이라고 하며, 변형력과 변형정도 사이의 비례상수를 탄성률이라 한다. 영국 물리학자인 훅(Robert Hooke, 1635-1703)이 법칙을 발견하여 이름이 붙여졌다. 변형력이 탄성한계보다 작은 경우 탄성률이 클수록 같은 크기의 변형력에 대해 변형되는 정도가 더 작다. 금속 막대도 탄성체라고 할 수 있는데, 용수철이나 고무줄보다 탄성률이 커서 변형되는 정도가 덜 두드러진다. 탄성한계 안에서는 변형이 커질수록 외력이 해준 일도 더 커지므로 퍼텐셜에너지도 그만큼 더 커진다.

그림 2. 탄성력을 이용한 고무총 ()

그림 3. 용수철의 모식도 ()

탄성한계 안에서 용수철이 평형상태보다 길이가 늘어나거나 줄어드는 경우 용수철을 평형상태로 되돌리려는 복원력이 작용하는데, 이것이 탄성력이며 용수철 한 쪽 끝에 물체가 연결되어 있는 경우 용수철이 이 물체에 작용하는 힘으로 나타낼 수 있다. 용수철의 복원력은 용수철이 평형상태로부터 늘어나거나 줄어든 길이에 비례하며, 이는 훅의 법칙의 한 형태라고 할 수 있다. [그림 3]과 같이 용수철의 다른 쪽 끝은 고정되어 있고, 용수철에 연결된 물체의 위치 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@를 평형상태에서 @@NAMATH_INLINE@@x=0@@NAMATH_INLINE@@이라고 하면, 복원력 또는 탄성력은

@@NAMATH_DISPLAY@@F=-kx@@NAMATH_DISPLAY@@

로 표현된다. 여기서 @@NAMATH_INLINE@@k@@NAMATH_INLINE@@는 양의 상수로 용수철 상수 또는 힘 상수라고 하며 탄성률에 비례한다. @@NAMATH_INLINE@@x>0@@NAMATH_INLINE@@이면 평형상태보다 길이가 늘어난 경우에 해당하고 @@NAMATH_INLINE@@x<0@@NAMATH_INLINE@@이면 평형상태보다 길이가 줄어든 경우에 해당한다

평형상태의 경우 퍼텐셜 에너지를 0으로 선택하면, @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@에 따라 달라지는 용수철의 퍼텐셜에너지는 평형상태에 정지해 있는 물체를 위치 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@로 이동하여 정지 상태를 유지하는 동안 외력이 해준 일과 같다. 일·운동에너지 정리에 따라 알짜힘이 해준 일이 0이고 알짜힘은 복원력과 외력의 합이므로 외력이 해준 일은 복원력이 물체에 해준 일과 크기가 같고 부호는 반대다. 이것을 식으로 나타내면 다음과 같고, 이것이 탄성 퍼텐셜 에너지의 가장 간단한 예이다.

@@NAMATH_DISPLAY@@U(x)=-\int_{0}^{x}F(x) dx=-\int_{0}^{x} (-kx)dx=\frac{1}{2}k x^2@@NAMATH_DISPLAY@@