시공간

시공간(space time)은 시간과 공간을 합친 것이다. 특히 상대성이론에서는 시간과 공간이 독립적이지 않고 서로 섞일 수 있기 때문에 시공간이라는 용어를 사용하는 것이 일반적이다. 즉, 우리 세상은 3차원의 공간과 1차원의 시간을 합쳐 4차원 시공간을 이룬다. 때로는 시간의 차원과 공간의 차원을 구분하여 (3+1)차원 시공간이라고 부르기도 한다.

목차

일상의 경험 및 그에 바탕을 둔 뉴턴역학에서는 시간과 공간은 아무 관계가 없고 누구나 하나의 시간을 공유한다. 우주 전체에 공통으로 하나의 절대시간이 흐른다고 생각하여 어떤 좌표계에서도 시간은 공간과 섞이지 않는 것이다. 예를 들어 어떤 관성계 @@NAMATH_INLINE@@S@@NAMATH_INLINE@@에 대해 다른 관성계 @@NAMATH_INLINE@@S'@@NAMATH_INLINE@@이 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@ 방향으로 상대속도 @@NAMATH_INLINE@@v@@NAMATH_INLINE@@로 운동하면, 두 좌표계 사이에는 다음과 같은 갈릴레이변환 관계가 성립한다. @@NAMATH_DISPLAY@@t' = t,@@NAMATH_DISPLAY@@@@NAMATH_DISPLAY@@x'= x - v t, @@NAMATH_DISPLAY@@@@NAMATH_DISPLAY@@y'=y, @@NAMATH_DISPLAY@@@@NAMATH_DISPLAY@@z'=z. @@NAMATH_DISPLAY@@즉, 두 좌표계의 시간은 @@NAMATH_INLINE@@t'=t@@NAMATH_INLINE@@로 변하지 않는다.

특수상대성이론의 기본 가정인 상대성원리와 광속 불변의 원리를 받아들이면 두 관성계는 다음과 같은 로런츠변환 식을 만족시킨다.

@@NAMATH_DISPLAY@@t' = \gamma (t-\frac{v}{c^2} x),@@NAMATH_DISPLAY@@@@NAMATH_DISPLAY@@x'= \gamma ( x - v t), @@NAMATH_DISPLAY@@@@NAMATH_DISPLAY@@y'=y, @@NAMATH_DISPLAY@@@@NAMATH_DISPLAY@@z'=z. @@NAMATH_DISPLAY@@여기에서 @@NAMATH_INLINE@@\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}@@NAMATH_INLINE@@로서 로런츠 인자라고 한다. 이 변환식을 보면 좌표계 @@NAMATH_INLINE@@S@@NAMATH_INLINE@@의 어떤 시간 @@NAMATH_INLINE@@t@@NAMATH_INLINE@@에 대해 공간좌표 @@NAMATH_INLINE@@x@@NAMATH_INLINE@@가 달라지면 좌표계 @@NAMATH_INLINE@@S'@@NAMATH_INLINE@@에서는 시간 @@NAMATH_INLINE@@t'@@NAMATH_INLINE@@이 달라지는 것을 알 수 있다. 즉, 한 좌표계에서 위치의 차이가 다른 좌표계에서는 시간의 차이로 나타나는 것이다. 이처럼 시간과 공간이 서로 완전히 독립적이지 않고 섞이기 때문에 상대성이론에서는 시간과 공간을 분리하지 않고 시공간이라는 하나의 용어로 기술하는 것이 자연스럽다. 4차원 시공간에서의 한 점은 사건(event)이라 부르는데 시간과 공간좌표를 모두 모은 @@NAMATH_INLINE@@(t,x,y,z)@@NAMATH_INLINE@@으로 나타낼 수 있다.

상대성이론에서 시간과 공간이 섞이기는 하지만 성격을 완전히 바꿀 수 있는 것은 아니다. 관성계 @@NAMATH_INLINE@@S@@NAMATH_INLINE@@에서 원점 (0,0,0,0)과 어떤 사건 @@NAMATH_INLINE@@(t,x,y,z)@@NAMATH_INLINE@@ 사이의 간격(interval) @@NAMATH_INLINE@@s^2@@NAMATH_INLINE@@을 다음과 같이 정의해보자. @@NAMATH_DISPLAY@@s^2 = -c^2t^2 + x^2 + y^2 + z^2. @@NAMATH_DISPLAY@@위의 로런츠변환에 의해 관성계 @@NAMATH_INLINE@@S'@@NAMATH_INLINE@@에서 간격 @@NAMATH_INLINE@@s^2@@NAMATH_INLINE@@을 계산해보면 변하지 않는 것을 확인할 수 있다. 즉, @@NAMATH_DISPLAY@@s'^2 = -c^2t^2 + x^2 + y^2 + z^2 = -c^2t^2 + x^2 + y^2 + z^2 = s^2 @@NAMATH_DISPLAY@@이다. 수학 용어로는 이런 시공간을 민코프스키(Minkowski) 시공간이라 부른다.

예를 들어, 관성계 @@NAMATH_INLINE@@S@@NAMATH_INLINE@@에서 시간 @@NAMATH_INLINE@@t@@NAMATH_INLINE@@에 원점에서 일어난 어떤 사건의 간격은 @@NAMATH_INLINE@@s^2 = -c^2 t^2 <0@@NAMATH_INLINE@@이다. 그러면 로런츠변환에 의해 관성계 @@NAMATH_INLINE@@S'@@NAMATH_INLINE@@에서는 이 사건이 @@NAMATH_DISPLAY@@t'= \gamma t,\qquad x' = -\gamma vt, \qquad y'=y, \qquad z'=z @@NAMATH_DISPLAY@@에서 일어나게 되어 시간과 공간이 섞였지만, 간격은 @@NAMATH_DISPLAY@@s'^2 = -c^2 \gamma^2 t^2 + (-\gamma vt)^2 = -c^2 t^2 = s^2@@NAMATH_DISPLAY@@으로 변하지 않는다. 특히 간격의 부호가 여전히 음수이다. 이처럼 어떤 사건 @@NAMATH_INLINE@@(t,x,y,z)@@NAMATH_INLINE@@는 간격 @@NAMATH_INLINE@@s^2@@NAMATH_INLINE@@이 양수냐, 음수냐, 혹은 0이냐에 따라 세 종류로 구분할 수 있으며 이 구분은 로런츠 변환에 의해 시간과 공간이 섞여도 변하지 않는다. @@NAMATH_INLINE@@s^2<0@@NAMATH_INLINE@@인 경우를 시간꼴(timelike)이라 하고 @@NAMATH_INLINE@@s^2>0@@NAMATH_INLINE@@을 공간꼴(spacelike), @@NAMATH_INLINE@@s^2=0@@NAMATH_INLINE@@을 빛꼴(lightlike) 혹은 그냥 영(null)이라 한다.

@@NAMATH_INLINE@@s^2=0@@NAMATH_INLINE@@인 빛꼴 사건들을 모두 모은 것을 빛원뿔(light cone)이라 한다. 편의상 @@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@ 방향을 생략하고 2차원 공간과 시간만을 고려했을 때 빛꼴 사건들이 그림 1처럼 원뿔을 이루기 때문이다. 그림 1은 시공간 그림(spacetime diagram)이라고 부르는데 수직축은 시간을 나타내고 아래쪽이 과거, 위쪽이 미래이다. 수평면은 @@NAMATH_INLINE@@xy@@NAMATH_INLINE@@ 공간을 나타낸다. 원뿔의 꼭지점을 원점 A로 잡았을 때 원뿔의 내부인 점 B는 시간꼴이고 외부인 점 C는 공간꼴이다. 질량이 있는 물체는 빛보다 빠르게 운동할 수 없으므로, A에 있는 물체는 원뿔 내부로만 움직일 수 있다. A에서 C로 이동하거나 영향을 주는 것은 불가능하다. 빛은 항상 빛의 속력으로 움직이므로 A에서 출발한 빛은 빛원뿔 위의 한 직선을 따라 움직인다.

그림 1. 특수상대론의 시공간 그림과 빛원뿔. ()

특수상대성이론의 시공간은 시간과 공간이 섞이긴 하지만 여전히 평평하다. 그러나 일반상대성이론에서는 시공간이 휘어질 수 있다. 일반상대성이론은 물리법칙이 로런츠변환뿐 아니라 일반적인 좌표변환(general coordinate transformation)에 대해서도 그대로 성립해야 한다는 기본 원리를 바탕으로 만들어졌다. 이로부터 아인슈타인 방정식이 유도된다. 이에 따르면 시공간의 에너지 분포가 시공간을 휘게 만들고 그 휘어진 정도가 중력으로 나타난다. 블랙홀은 시공간이 극단적으로 휜 경우인데 중력이 너무 강하여 빛조차도 블랙홀을 빠져나오지 못한다.

시공간은 에너지 분포에 따라 휘어질 뿐만 아니라 그 자체가 출렁이면서 시간에 따라 역동적으로 변화하여 파동을 만들어낼 수 있다. 이를 중력파라 한다. 아인슈타인은 1916년에 처음으로 중력파의 존재를 예언했는데 그로부터 100년이 지난 2016년에 처음으로 중력파가 실제로 발견되었다.

그림 2. 물질에 의해 휜 시공간을 상징적으로 나타낸 그림. ()