브루스터의 법칙

빛이 두 물질의 경계면을 통해 진행할 때, 빛의 일부는 경계면에서 반사하고, 다른 일부는 경계면을 굴절하면서 투과한다. 그런데 만약 빛이 브루스터 각(Brewster's angle, @@NAMATH_INLINE@@\theta_B@@NAMATH_INLINE@@)이라 불리는 특정한 각도로 입사하는 경우에는, 특정한 방향으로 편광된 빛이 전혀 반사하지 않고 완전히 투과할 수 있다. 이때 입사하는 각도(입사각)와 굴절하는 각도(굴절각)의 합이 90@@NAMATH_INLINE@@^{\circ}@@NAMATH_INLINE@@가 되는데, 이것을 브루스터의 법칙이라고 한다.

브루스터의 법칙은 스코틀랜드의 물리학자 브루스터(D. Brewster, 1781-1868)가 제안한 것으로, 빛이 특정한 입사각으로 입사할 때 반사된 빛이 완전히 편광되는 조건을 명시한 법칙이다(1811년). 즉, 입사각(@@NAMATH_INLINE@@\theta_i@@NAMATH_INLINE@@)과 굴절각(@@NAMATH_INLINE@@\theta_t@@NAMATH_INLINE@@)의 합이 90@@NAMATH_INLINE@@^{\circ}@@NAMATH_INLINE@@일 때 반사광은 완전 편광된다:

@@NAMATH_DISPLAY@@\theta_i +\theta_t=90^{\circ}@@NAMATH_DISPLAY@@

그림 1. 브루스터 각으로 입사하는 빛의 편광

그림 1은 @@NAMATH_INLINE@@xy@@NAMATH_INLINE@@-평면인 경계면을 향해 입사하는 광선이 일부는 경계면에서 반사되고, 일부는 경계면을 통과할 때, 입사광선의 방향이 바뀌는 굴절 현상을 보여준다. 이때 굴절광선과 법선(@@NAMATH_INLINE@@z@@NAMATH_INLINE@@축) 사이의 각도로 정의되는 굴절각(@@NAMATH_INLINE@@\theta_t@@NAMATH_INLINE@@)은 스넬의 법칙에 의해서 입사각(@@NAMATH_INLINE@@\theta_i@@NAMATH_INLINE@@)과 경계면 양쪽 물질의 굴절률의 비로부터 구할 수 있다:

@@NAMATH_DISPLAY@@n_{1}\sin\theta_{i}=n_{2} \sin\theta_{t}@@NAMATH_DISPLAY@@여기서, @@NAMATH_INLINE@@n_{1}@@NAMATH_INLINE@@과 @@NAMATH_INLINE@@n_{2}@@NAMATH_INLINE@@는 각각 입사하는 쪽과 굴절하여 투과하는 쪽에 있는 물질의 굴절률이다.

그림 1은 특히 입사각(@@NAMATH_INLINE@@\theta_i@@NAMATH_INLINE@@)이 브루스터 각(@@NAMATH_INLINE@@\theta_B@@NAMATH_INLINE@@)일 때를 나타내는데, 브루스터의 법칙의 이해를 위해 빛의 진행 방향과 더불어 빛의 편광 상태도 표시하였다. 광선 위에 그려진 점과 평행선은 각각 전기장이 진동하는 방향을 나타낸 것이다. 즉, 점은 전기장이 지면에 수직 방향으로 진동하는 것을, 작은 평행선들은 전기장이 지면과 나란한 방향으로 진동하는 것을 의미한다. 전기장이 지면에 수직 방향으로 진동하는 빛을 TE(transverse electric), 또는 s-편광된 빛이라고 하고, 전기장이 지면과 나란한 방향으로 진동하는 빛을 TM(transverse magnetic), 또는 p-편광된 빛이라고 한다. 여기서 's'는 빛의 전기장의 방향이 입사면에 수직하다는 의미로 독일어의 단어 'senkrecht'로부터 유래되었고, 'p'는 전기장의 방향이 입사면에 평행(parallel)하다는 의미로 사용되었다.

그림 1에서, 입사하는 광선은 점과 평행선을 모두 포함하고 있는데, 이는 입사 광선의 전기장의 진동이 모든 방향에 존재하는 편광되지 않은 빛을 표현한 것이다. 이와는 달리 반사광선에는 점들만 그려져 있는데, 이는 TM 편광(p-편광)된 빛 성분이 없음을 의미한다. 즉, TE 편광(s-편광) 빛들만 반사될 수 있다는 것이고, 결국 브루스터 각으로 입사될 때 반사 광선은 완전 편광된다는 것을 나타낸다.

브루스터의 법칙은 프레넬 공식(Fresnel's equation)과 스넬의 법칙으로부터 다음과 같이 유도될 수 있다. 프레넬 공식은 전자기파가 경계면에 입사할 때, 얼마만큼의 전기장 성분이 경계면에서 반사하고, 투과하는가에 관한 식으로, TM 편광된 빛의 경우, 반사율이 @@NAMATH_INLINE@@0\,@@NAMATH_INLINE@@이 되는 입사각이 있다. 이 때의 입사각을 브루스터 각(@@NAMATH_INLINE@@\theta_B@@NAMATH_INLINE@@)이라 부른다. 이에 따르면, 브루스터 각(@@NAMATH_INLINE@@\theta_B@@NAMATH_INLINE@@)은 다음과 같이 주어진다:

@@NAMATH_DISPLAY@@\tan\theta_i=\tan\theta_B=\frac{n_2}{n_1}.@@NAMATH_DISPLAY@@

여기에 스넬의 법칙을 결합하면,

@@NAMATH_DISPLAY@@\frac{\sin\theta_i}{\sin\theta_t}=\frac{n_2}{n_1}=\tan\theta_i= \frac{\sin\theta_i}{\cos\theta_i}@@NAMATH_DISPLAY@@이 되어, @@NAMATH_DISPLAY@@\cos\theta_i=\sin\theta_t \rightarrow \theta_i=\frac{\pi}{2}-\theta_t,@@NAMATH_DISPLAY@@@@NAMATH_DISPLAY@@\theta_i+\theta_t=\frac{\pi}{2}.@@NAMATH_DISPLAY@@

이와 같이 브루스터의 법칙이 성립한다는 것을 보일 수 있다.

한편, 굴절광은 입사된 빛 중에서 TE 편광된 빛의 일부와 TM 편광된 빛 전체가 합해지므로 부분적으로 편광된 빛이 된다.