속

요약 반순서집합(半順序集合) A가, A의 임의의 두 원소로 되는 부분집합의 상한(上限)과 하한(下限)이 존재할 때의 A이다.

여기서 반순서(또는 순서)라고 하는 것은 다음 법칙을 만족시키는 2항 관계 ≥를 말한다.

① x≥x ② x≥y, y≥x → x=y ③ x≥y, x≥z → x≥z 일반적으로 집합 A(대수계의 일종)에 ∪, ∩의 2연산이 정의되고 다음 성질 ①∼⑤를 성립시킬 때, A를 속이라고 한다. ①a,b∈A인 임의의 원소 a,b에 대하여 A의 원소 a∪b, a∩b가 일의적으로 결정된다. ② a∪a=a, a∩a=a (멱등률) ③ a∪b=b∪a, a∩b=b∩a (교환율) ④ a∪(b∪c)=(a∪b)∪c (결합률) a∩(b∩c)=(a∩b)∩c ⑤ a∪(a∩b)=a, a∩(a∪b)=a (흡수율) a∪b=a를 a≥b로 놓으면, A는 반순서집합이 되며, a∪b는 a와 b의 상한(上限)을, a∩b는 a와 b의 하한(下限)을 나타낸다.

이를테면, 자연수 전체를 N이라 하고, 자연수 a,b의 최대공약수를 a∪b, 최소공배수를 a∩b라 하면, N은 속이 된다. 같은 집합 N에서 a와 b의 큰 쪽(같다면 일치하는 값)을 a∪b, 작은 쪽을 a∩b로 해도 별도의 속을 얻을 수 있다.

모듈러 분배속
속 A의 원소 a, b, c에 대하여, 분배법칙 (a∪b)∩c=(a∩c)∪(b∩c)이 성립할 때 A를 분배속이라고 한다. 임의의 집합의 부분집합 전체로 이루어지는 속은 분배속이다. 이를테면, 정수 30의 약수 1, 2, 3, 5, 6, 10,15, 30에서 a가 b로 나누어 떨어질 때,a≥b인 순서를 생각하면, 이들 8개의 원소는 직육면체의 꼭짓점에 해당하는 분배속이 된다［그림 2］.

임의의 원소가 보원(補元:complement)을 가지며, 분배법칙을 만족시키는 속을 불대수(Boolean algbera)라고 한다. 보원은 속A가 최대원소 I와 최소원소 O를 가지며, a∈A인 임의의 원인 a에 대하여 a∪a'=I, a∩a'=O로 되는 원 a'가 존재할때, 이 a'를 a의 보원이라 한다. 사영기하학(射影幾何學)의 기초이론은 보원이 있는 모듈러속의 이론의 일부에 흡수되며, 사영기하학의 유명한 쌍대원리(雙對原理:principle of duality)는 속의 쌍대원리로서 해석된다.