삼차방정식

요약 변수 x의 최고차항이 3차인 다항방정식으로 ax3＋bx2＋cx＋d＝0인 꼴로 나타낼 수 있다.

일반적으로 ax³＋bx²＋cx＋d＝0(a≠0, a, b, c, d는 상수)인 꼴로 나타낼 수 있다. 삼차방정식의 해의 공식은 매우 복잡하지만, 인수분해가 가능한 경우는 간단히 그 해를 구할 수 있다.

해를 구하는 방법

삼차방정식이 실근을 가지는 경우 다음과 같이 네 가지 경우로 인수분해 될 수 있다.

(1) a(x-α)(x-β)(x-γ)=0 (단 a≠0, α≠β≠γ, α,β,γ는 실수)
이러한 경우 우변의 0을 만족시키기 위한 x의 값은 α 또는 β 또는 γ가 된다. 즉, 삼차방정식의 해는 x=α, x=β, x=γ가 된다. 해의 갯수(실근의 갯수)는 3개이다.

(2) a(x-α)²(x-β)=0 (단 a≠0, α≠β, α,β는 실수)
이 경우 삼차방정식을 만족시키는 x의 값은 α 또는 β가 된다. 즉, 삼차방정식의 해는 x=α 또는 x=β가 된다. x=α는 두 번 중복된 근, '중근'이며 실근의 갯수는 α,β 두 개가 된다.

(3) a(x-α)³=0 (단, a≠0, α는 실수)
이러한 경우 삼차방정식을 만족시키는 x의 값은 α뿐이다. 즉 삼차방정식의 해는 x=α가 되며 실근은 한 개이다.

(4) a(x-α)(x²+px+q)=0 (단, a≠0, α는 실수, x²+px+q=0는 허근을 가지는 이차방정식)
x²+px+q=0이 더 이상 인수분해 되지 않는 경우이다. 이 경우 삼차방정식의 해는 x=α 하나뿐이다.

풀이의 역사

삼차방정식 풀이에 관해서는 아라비아에서 처음으로 논의되었으나, 대수적인 해법이 발견되지는 못했다. 삼차방정식의 대수적 해법은 주로 이탈리아에서 연구되었으며, S.페로가 처음으로 x³＋3px＋q＝0인 형태의 삼차방정식을 풀었다. 그 후 N.타르탈리아가 삼차방정식의 일반적인 해법을 발견하였는데, 그 해법이 나중에 G.카르다노의 저서 《아르스마그나 Ars magna, seu de regulis algebraicis, liber unus》(1545)에서 공포되었기 때문에 '카르다노의 공식'이라고 불리게 되었다.