벡터해석

요약 벡터장을 그 연구 대상으로 하는 수학.

물리학이나 공학에서는 속도·힘·전기장 등과 같은 크기와 방향을 가지는 양, 즉 벡터량을 취급하는 일이 많다. 따라서 벡터량의 연산이 중요하며, 이것을 연구하는 학문이 벡터해석학이다. 벡터의 합·차·곱 등의 계산법을 취급하는 부분을 벡터대수학, 벡터의 미분·적분을 취급하는 부분을 벡터해석학으로 구별하기도 한다.

보통은 3차원벡터를 대상으로 한다. 물리현상이 좌표계의 선택과는 무관하다는 것을 감안하면, 벡터량을 그 성분으로 분해하지 않고 그대로 다루는 것이 바람직하다는 것을 알 수 있는데, 이는 벡터해석의 유용성을 말해주고 있다.

미분과 적분
한 질점(質點)이 3차원공간 중에서 운동할 때, 그 위치를 나타내는 벡터 r(x,y,z)는 시간 t의 함수로서 변환을 한다. 벡터함수 r의 스칼라변수 t의 미분은 스칼라함수의 경우와 같이


로 정의된다. 일반적으로 벡터 A가 스칼라변수 s의 함수일 때, 미분 dA/ds는 위와 마찬가지로 정의된다.

스칼라장과 벡터장
3차원공간의 어떤 영역 D의 각 점 (x,y,z)에 스칼라량 φ가 주어졌을 경우에, D는 스칼라 φ의 장(場)이라고 하며, 또 각 점 (x,y,z)에 벡터량 F가 대응하고 있을 경우, D는 벡터 F의 장(場)이라 한다.

예를 들면, 전기장이나 자기장은 벡터장이며, 유체의 흐름은 밀도의 스칼라장인 동시에 유속의 벡터장이기도 하다. n차원공간에 대해서도 여러 개념을 확장할 수 있으며, 또 일반적으로 벡터해석은 텐서해석의 특별한 경우라고 할 수 있다.