로그함수

요약 로그의 진수에 변수 x가 포함되어 있는 함수를 말한다.

a를 1이 아닌 양의 상수라고 할 때, 두 변수 x와 y 사이에 a^y=x인 관계가 있으면 y는 a를 밑으로 하는 x의 로그함수라 하고, y＝log_ax로 나타낸다. 로그함수는 지수함수 y＝a^x(a＞0, a≠1)의 역함수이며, 0＜x＜∞에서 연속이고 좁은 뜻의 단조함수, 즉 a＞1이면 단조증가함수, 1＞a＞0이면 단조감소함수이다. 또, y＝log_ax일 때의 도함수는,

x/h＝x"으로 놓으면,

이 된다. 또 극한값

의 값은 2.71828182459…가 되고 이 수를 보통 e로 쓴다. e는 하나의 초월수임이 증명되어 있다. e를 쓰면 위의 식은,

로 되며, 특히, a＝e일 때는

이다.

알기 쉬운 설명

a를 1이 아닌 양의 상수라고 할 때, 두 변수 x와 y 사이에 a^y=x인 관계가 있으면 y는 a를 밑으로 하는 x의 로그함수라 하고, y＝log_ax로 나타낸다. 여기에서 알 수 있듯이 로그함수는 지수함수 y＝a^x(a＞0, a≠1)의 역함수이다.

a가 양의 상수이므로 a의 거듭제곱인 x는 항상 양수이다. 그러므로 y＝log_ax의 정의역은 x>0인 실수가 된다. 이는 로그의 정의 중 진수가 항상 양수여야 한다는 조건과도 일치한다. a>1일 때, 로그함수 y＝log_ax의 그래프는 다음과 같다. 

그래프를 통해 확인할 수 있듯이, a>1일 때 로그함수 y＝log_ax는 증가함수이고 그래프는 x=1일 때 x축과 만난다. 또한 a>1인 경우에는 a의 값이 작을수록 x>1영역에서 로그함수 y＝log_ax의 그래프가 더 가파르게 증가한다. 다음 a=2일 때와 a=3일 때의 그래프를 비교해보면 a값이 더 작은 y=log₂x의 그래프가 더 가파르게 증가하는 것을 볼 수 있다.

1>a>0일 때, 로그함수 y＝log_ax의 그래프는 다음과 같다.

a>1일 때와 마찬가지로 그래프가 x=1일 때 x축을 지나가지만, 이