데데킨트의 실수

요약 실수론(實數論) 용어로서 J.W.R.데데킨트가 유리수의 절단개념에 의하여 정의한 실수이다. 데데킨트는 실수의 상등·대소·사칙연산을 이 절단에 의해 정의하여 해석학의 기반을 구축해놓았다.

유리수 전체를 다음 성질을 갖는 2개의 짝 R₁과 R₂로 나눈다. ① R₁과 R₂는 R₁≠ø, R₂≠ø, 즉 R₁과 R₂는 적어도 하나의 유리수를 포함한다. ② R₁에 속하는 각 수는 모두 R₂에 속하는 각 수보다도 작다. 유리수를 이와 같이나눈 것을 유리수의 절단(section:cut)이라 하고, (R₁,R₂)로 나타낸다.

이 유리수의 절단에는 다음의3가지 경우가 일어난다. ① R₁에 최대수가 있으나, R₂에 최소수가 없다. ② R₁에 최대수가 없고, R₂에 최소수가 있다. ③ R₁에 최대수가 없고, R₂에 최소수가 없다. 절단 (R₁,R₂)에는 R₁에 최대수 a가 있고, R₂에 최소수 b가 있다고 하는 일은 결코 일어나지 않는다는 뜻이다. 만일, 이와 같은 일이 일어난다면, a와 b의 평균은 1개의 유리수이므로 이것은 R₁에도 R₂에도 속하지 않는 결과가 된다.

데데킨트는이 유리수의 절단에 대응시켜 개개의 실수를 정의하였다. 위의 ①의 경우와 ②의 경우에 절단은 유리수를 부여하며, ③의 경우의 절단은 무리수를 부여한다. 이와 같이 정의된 실수를 데데킨트의 실수라고 한다. 데데킨트는 실수의 상등 ·대소 ·사칙연산을 이 절단에 의해 정의하여 해석학의 기반을 구축해놓았다.