무리수

요약 실수 중에서 유리수가 아닌 수. 즉, 두 정수 a, b의 비(比)인 꼴 a/b(b≠0)로 나타낼 수 없는 수를 말한다.

정수와 분수를 하나로 정의한 유리수체에서는 그 안에서 이루어진 사칙연산의 결과는 모두 유리수이다(단, 0으로 나누는 것은 제외). 이와 같은 사실을, 유리수체는 사칙연산에 대하여 닫혀 있다고 한다. 유리수를 계수로 하는 이차방정식은 유리수의 범위에서 반드시 해를 갖는다고 할 수 없다.

이를테면 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이를 구하는 이차방정식의 근 ±√2는 정수도 아니며, 분수도 아니다. 일반적으로 부진근수(不盡根數:유리수가 아닌 근수) n√a라든지, 원주율 π 또는 자연로그의 밑으로 쓰이는 e와 같은 유리수가 아닌 수를 무리수라고 한다.

무리수는 극한·연속 등 해석학의 여러 개념이 발달함에 따라 점차 밝혀지게 되었으며, 19세기 말, G.칸토어, J.W.R.데데킨트, K.바이어슈트라스 등에 의하여 그 기초가 확고하게 되었다. 또, 이들은 유리수와 무리수를 실수로서, 동일한 정의 밑에서 다루었으며, 칸토어는 유리수열(有理數列)을, 데데킨트는 유리수의 절단(cut)을 써서 실수를 정의하면서 실수 중의 무리수의 특색을 명확히 하였다.

알기 쉬운 설명

a/b(b≠0)와 같이 분수의 꼴로 나타낼 수 있는 실수를 유리수라고 한다. 유리수에는 1, 2, 3, 0, -3 등과 같은 정수도 포함되어 있고, 0.5 등과 같은 소수도 포함되어 있으며 1/3과 같은 분수도 포함되어 있다. 그런데 실수이지만 유리수가 아닌 수, 즉 분수의 꼴로 나타낼 수 없는 수를 무리수라고 한다.

한 변의 길이가 1인 정사각형이 있다. 이 정사각형에 대각선을 그린다.

피타고라스의 정리에 따르면, 직사각형에서 (밑변의 길이)²+(높이)²=(빗변의 길이)² 이므로, 빨간색 대각선의 길이 x를 구하려면 1²+1²=x²의 해를 찾아야 한다.

1²+1²=x²
1+1=x²
2=x²

여기서 어떤 수 x를 제곱하여 2가 되게 하는 x의 값을 찾아야 하는데, 이 수를 계산해보면 순환하지 않는 무한소수 1.4142... 이다. 즉 분수의 꼴로 표현할 수 없는 수, 유리수가 아닌 수인 것이다. 수학자들은 이러한 수를 '무리수'라 하고 이 x를 √2 로 표시하였다. 이와 같이 유리수가 아닌 실수, 순환하지 않는 무한소수를 무리수라 한다.

대표적인 무리수로는 √2, √3 등과 같은 수, 원주율 π, 자연로그의 밑으로 쓰이는 e 등이 있다.

일반적으로 무리수와 유리수를 더하면 무리수가 되고, 무리수와 0이 아닌 유리수를 곱하면 그 결과도 무리수가 된다. 예를 들어 원주율 π=3.141592...에 유리수 10을 더하면, π + 10 = 3.141592... + 10 = 13.141592... 이므로 여전히 순환하지 않는 무한소수(무리수)이다. 마찬가지로 10 x π= 10 x 3.141592... = 31.41592... 이므로 여전히 순환하지 않는 무한소수(무리수)이다.