달걀꼴곡선

요약 내점(內點)을 갖는 유계인 볼록집합의 경계곡선으로 단일폐곡선이다. 곡선 위의 각 점은 각 방향으로의 접선을 갖는다.

이 곡선은 요르단곡선(단일폐곡선)이며, 이 곡선 위의 각 점에서는 각 방향으로의 접선이 존재한다. 양쪽으로의 접선이 일치하지 않는 점은 각점(角點)이며, 이러한 점은 많아야 가산개(可算個)밖에 없다. 또, 이 곡선 위의 각각의 점을 지나는 적당한 직선을 그으면, 달걀꼴곡선을 그 한쪽의 반평면 또는 그 경계에 포함시킬 수 있다.

이와 같은 직선을 달걀꼴곡선의 지지선(支持線)이라고 한다. 또 이 곡선 내부의 한 점 O를 원점으로 하는 직각좌표계를 취하고, O에서 방향각 θ를 갖는 동경(動徑)에 수직인 지지선에 이르는 거리를 p(θ)로 나타내면, 지지선의 방정식은, x cos θ＋y sin θ＝p(θ)로 주어진다.p(θ)는 2π를 주기로 하는 1가연속함수(一價連續函數)이며, 지지선함수라고 한다.

달걀꼴곡선은 그 지지선 전체로 이루어진 직선족(直線族)의 포락선(包絡線)으로 볼 수 있다. 또한 지지선의 방향 코사인은 u＝cos θ, v＝sin θ이지만, p(θ)를 바꾸기 위해 두 변수 u, v의 함수로서 H(u,v)로 나타내면,

H(0,0)=0 을 만족하도록 정할 수 있다. 이때의 H(u,v)를 민코프스키(Minkowski)의 지지선함수라고 한다.