내심외심
[ incenter;circumcenter , 內心·外心 ]
- 요약
내심은 삼각형(사면체)의 내접원(내접구)의 중심, 외심은 삼각형(사면체)의 외접원(외접구)의 중심이다.
내심
삼각형 ABC의 3내각의 이등분선은 한 점 I에서 만난다. I는 각 변에서 같은 거리에 있으므로, I를 중심으로 하여 내접원을 그릴 수 있다. 이때 I를 그 삼각형의 내심이라 한다.
외심
다음에 삼각형 ABC의 3변의 수직이등분선은 한 점에서 만나고, 그 교점 O는 꼭짓점 A, B, C에서 같은 거리에 있으며, O를 중심으로 외접원을 그릴 수 있다. 이때, O를 이 삼각형의 외심이라 한다.
방심과 수심
내각 A와 외각 B,C의 이등분선은 한 점 I1에서 만난다. I1은 변 BC 및 AC·AB의 연장선에서 같은 거리에 있으므로 I1을 중심으로 이들 변에 접하는 원을 그릴 수 있으며, 그 원을 방접원이라 하고, I1을 방심(傍心)이라 한다.
마찬가지로 다른 내각 B,C 내에 방심 I2, I3가 있다. 이때 Ⅰ는 삼각형 I1 I2 I3의 수심(垂心)이 된다.
관계식
방접원 I1이 세 변과 접하는 점을 각각 D1 E1 F1이라 하고, 방접원 I2, I3와 세 변과의 접점을 D2, E2, F2 및 D3, E3, F3으로 한다. 내각 A, B, C의 대변(對邊)을 a, b, c라 하고, (a＋b＋c)/2＝s라 놓으면, 다음 관계가 성립된다.
AE1＝AF1=BD2=BF2＝CE3＝CD3=s
AE＝AF＝BF3＝BD3＝CD2＝CE2＝s－a
BD＝BF＝CD1＝CE1＝AF3＝AE3＝s－b
CD＝CE＝AF2＝AE2＝BF1＝BD1＝s－c
또한 내접원·방접원·외접원의 반지름의 길이를 아래 그림과 같이 각각 r,r1,r2,r3,R이라 하면, 삼각형 ABC의 면적은 sr＝(s－a)r1＝(s－b)r2＝(s－c)r3가 된다.
