구

요약 3차원공간에서, 한 정점(定點)에서 일정한 거리에 있는 점의 자취를 구면(球面)이라고 하고, 이 구면을 경계로 하는 입체를 구라 한다.

구

반원을 그 지름의 둘레로 1회전할 때 생기는 입체이다. 이때 정점을 구의 중심, 정점과 구 위의 한 점을 잇는 선분을 반지름이라 한다. 구면 위의 두 점을 연결한 선분 중에서 중심을 지나는 것을 구(또는 구면)의 지름, 지름의 양끝에 있는 두 점을 대점(對點)이라 한다. 구의 중심을 지나는 평면으로 잘린 부분의 원을 대원(大圓), 중심을 지나지 않는 평면으로 잘린 부분의 원을 소원(小圓)이라 한다. 또 대원 또는 소원의 평면에 수직인 지름의 양끝을 그 대원 또는 소원의 극(極)이라 한다.

구면 위의 두 점을 연결한 구면 위의 곡선 중에서 그 길이가 가장 짧은 것은 그 두 점을 지나는 대원의 열호(劣弧)이며 두 점이 대점일 때는 반원주(半圓周)인데, 이것을 두 점 간의 구면거리라 한다. 또 직선과 구면이 단 한 점을 공유할 때, 그 공유점을 접점(接點), 직선을 접선(接線)이라 하며, 구면과 평면이 단 한 점을 공유할 때 그들은 서로 접한다고 한다.

이때의 평면을 접평면(接平面), 공유점을 접점이라 한다. 구면 위의 한 점에 대한 접선의 자취는 그 점에 대한 접평면이며, 구의 외부의 점(중심에서의 거리가 반지름보다 큰 점)에서 구면에 그은 접선의 자취는 그 점을 꼭짓점으로 하는 직원뿔면이다.

표면적과 부피

구의 반지름을 r, 구의 겉넓이를 S, 구의 부피를 V라 하면
      S＝4πr ², V＝4/3πr^３ 이다. 

구면방정식

직교좌표계에서 중심이 (a,b,c)이고, 반지름이 r인 구면의 방정식은
      (x－a)²＋(y－b)²＋(z－c)²＝r ² 이다.
특히, 원점이 중심일 때는 
      x ²＋y ²＋z ²＝r ² 이다.

두 구의 위치관계

두 구 O,O'의 반지름을 r,r', 그 중심 간의 거리를 d라 할 때, 두 구가
① 서로 다른 것의 밖에 있으면 ⇔ d＞r＋r'
② 외접하면 ⇔ d＝r＋r'
③ 만나면 ⇔ r＋r'＞d＞r~r'
④ 내접하면 ⇔ d＝r~r'
⑤ 한쪽이 다른쪽에 포함되면 ⇔ d＜r~r'이다.