미시경제 생산자이론 ㅠㅠ 문제풀이좀 도와주셔요

a)

주어진 생산함수는 콥더글라스 생산함수입니다.

콥더글라스 생산함수는 각 생산요소의 지수의 합으로 규모의 보수(=규모의 수익)을 구할 수 있습니다.

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3/4 + 1 = 7/4

이 생산함수는 7/4차 동차함수라고 할 수 있습니다.

이렇게 되는 증명은 보이지 않겠습니다

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이 값은 모든 생산요소를 n배 투입할때 생산물은 (7/4)*n배 증가함을 나타냅니다.

즉 이 값이 1이면 규모의 보수는 불변,

1보다 작으면 규모의 보수 감소,

1보다 크면 규모의 보수 증가입니다.

이문제에선 1보다 크므로 규모의 보수 증가입니다.

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b) 수식으로만 보일게요. 이해 안되면 추가질문 주세요.

MPx1= dQ/dx1

= 3*(3/4)*x1^(3/4 -1)*x2

= 3 *(3/4)*x2/x1^(1/4)

MPx2 = dQ/dx2

= 3*x1^(3/4)

MPx1/MPx2 = w1/w2

(3/4)x2/x1 = 3/4

x2=x1

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Q=6을 생산함수에 대입하면

6 = 3*x1^(3/4)*x2

6 =3*x1^(3/4)*x1

2 = x1^(7/4)

x1= x2 = 2^(4/7)

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c)

MPx1/MPx2 = w1/w2

(3/4)x2/x1 = 6/4

x2=2*x1

즉

x1:x2 = 1:1에서

x1:x1 = 1:2로 바뀝니다.

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d)

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라그랑주 승수법을 이용하면

L = x1*w1 + x2*w2 + λ(Q - 3x1^3/4*x2)

L1= dL/dx1 = w1- 3*(3/4)x2/x1^(1/4) = 0

w1 = 3*(3/4)x2/x1^(1/4)

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L2 = dL/dx2 = w2 - 3*x1^(3/4) = 0

w2 = 3x1^(3/4)

​

Lλ = dL/d λ= Q - 3x1^(3/4)*x2 = 0

뭐 조금 복잡해 보일수 있는데 사실은 a)에서 한거랑 똑같습니다.

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L1과 L2에서

w1/w2 = (3/4)x2/x1

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정리를 해주면

x1 = (3*w2*x2)/(4*w1)

x2 = (4*w1*x1)/(3*w2)

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Lλ는 그냥 생산함수 자체죠.

Q= 3x1^(3/4)*x2

에다가 x1를 대입해주면

Q = 3*(3w2*x2/4w1)^(3/4)*x2

x2에 대해 정리해주면

Q = 3*(3w2/4w1)^(3/4)*x2^(7/4)

x2^(7/4) = (Q/3)*(4w1/3w2)^(3/4)

x2 = ((Q/3)*(4w1/3w2)^(3/4)))^(4/7)

x2 =(Q/3)^(4/7)*(4w1/3w2)^(3/7)

이게 x2의 요소수요함수가 되겠네요.

조건부요소수요함수라는건 Q를 상수로 취급해준 겁니다.

맘약 Q=6이라면 그냥 Q에 6 대입하면 됩니다.

계산이 조금 복잡해서 맞는지 잘 모르겠네요.

검산 꼭 직접 해보시고,

x1의 조건부요소수요함수는 직접 구해 보세요..

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