게임이론 쿠르노 무한경쟁 문제풀이

(1) 이 게임의 균형은 어떻게 되는가?

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이 게임의 균형은 반복게임에서의 균형 개념 중에서 'Nash 균형'을 사용하여 구할 수 있습니다. Nash 균형은 각 플레이어가 상대방의 전략을 고려하여 자신의 전략을 선택할 때, 더 이상 자신의 전략을 바꿀 이유가 없는 상태를 말합니다.

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이 게임에서는 두 기업이 동일한 상품을 생산하고, 비용이 0이므로, 각 기업은 자신의 생산량이 시장 수요에 어떤 영향을 미치는지 고려하여 생산량을 결정해야 합니다. 따라서, 각 기업은 다음과 같은 문제를 푸는 것과 같습니다.

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maximize q_i (1-q_1-q_2)

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위의 문제를 푸는 것은 다음과 같이 해석할 수 있습니다. 각 기업은 자신의 생산량 q_i를 최대화하여 시장 수요에서 다른 기업의 생산량 (1-q_i)에 대한 영향을 고려합니다.

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이 문제를 푸는 방법은 다음과 같습니다. 먼저, q_i를 최대화하는 조건은 다음과 같습니다.

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1-q_1-q_2 = p = 1-q_j

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위의 식에서 j는 i와 다른 기업을 나타냅니다. 따라서, 위의 식을 q_i에 대해 풀면 다음과 같습니다.

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q_i = (1-q_j)/2

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따라서, 이 게임의 Nash 균형은 각 기업이 생산량을 (1/4, 1/4)로 선택하는 것입니다.

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(2) 이 게임에서의 사회적 복지는 어떻게 되는가?

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이 게임에서의 사회적 복지는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

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Social welfare = Total surplus - Cost

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Total surplus는 시장 수요에서 생산량을 뺀 값입니다. 따라서, Total surplus는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

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Total surplus = (1-q_1-q_2)^2 / 2

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Cost는 두 기업의 생산 비용의 합입니다. 이 게임에서는 비용이 0이므로 Cost는 0입니다.

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따라서, 이 게임에서의 사회적 복지는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

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Social welfare = (1-q_1-q_2)^2 / 2

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위에서 구한 Nash 균형에서의 사회적 복지는 다음과 같습니다.

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Social welfare = (1-1/4-1/4)^2 / 2 = 1/32

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따라서, 이 게임에서의 Nash 균형에서의 사회적 복지는 1/32입니다.