소득소비곡선 기울기 구하는 방법 (미시경제학)
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소득소비곡선 기울기 구하는 방법 (미시경제학)
익명 작성일 -
소득소비곡선의 기울기는 효용함수와 가격에 대한 미분으로 구할 수 있습니다.
먼저, 두 개의 상품에 대한 효용함수를 U(x1, x2)라고 하고, 각각의 가격을 p1, p2라고 할 때, 소득 I를 가지고 최적의 소비 조합 (x1, x2)을 구할 수 있습니다. 이 최적의 소비 조합은 다음과 같은 최적화 문제로 표현할 수 있습니다.
max U(x1, x2)
s.t. p1x1 + p2x2 = I
여기서 라그랑주 승수법을 이용하여 다음과 같은 라그랑주 함수를 구성합니다.
L(x1, x2, λ) = U(x1, x2) + λ(I - p1x1 - p2x2)
이제 라그랑주 함수를 x1, x2, λ에 대해 미분합니다.
∂L/∂x1 = ∂U/∂x1 - λp1
∂L/∂x2 = ∂U/∂x2 - λp2
∂L/∂λ = I - p1x1 - p2x2
여기서 ∂L/∂λ = 0이므로,
I - p1x1 - p2x2 = 0
위 식을 통해 x2를 구한 후, 소득 I에 대해 x1을 풀면 소득소비곡선을 얻을 수 있습니다. 이때, 소득소비곡선의 기울기는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
dx2/dx1 = (MU1 / MU2) * (p2 / p1)
여기서 MU1은 x1에 대한 효용함수의 미분, MU2는 x2에 대한 효용함수의 미분을 나타냅니다. 따라서, MU1/MU2은 x1의 가치 대비 x2의 가치를 나타내며, p2/p1은 두 재화의 상대적 가격을 나타냅니다. 이를 곱한 것이 소득소비곡선의 기울기입니다.
소득소비곡선의 기울기는 효용함수와 가격에 대한 미분으로 구할 수 있습니다.
먼저, 두 개의 상품에 대한 효용함수를 U(x1, x2)라고 하고, 각각의 가격을 p1, p2라고 할 때, 소득 I를 가지고 최적의 소비 조합 (x1, x2)을 구할 수 있습니다. 이 최적의 소비 조합은 다음과 같은 최적화 문제로 표현할 수 있습니다.
max U(x1, x2)
s.t. p1x1 + p2x2 = I
여기서 라그랑주 승수법을 이용하여 다음과 같은 라그랑주 함수를 구성합니다.
L(x1, x2, λ) = U(x1, x2) + λ(I - p1x1 - p2x2)
이제 라그랑주 함수를 x1, x2, λ에 대해 미분합니다.
∂L/∂x1 = ∂U/∂x1 - λp1
∂L/∂x2 = ∂U/∂x2 - λp2
∂L/∂λ = I - p1x1 - p2x2
여기서 ∂L/∂λ = 0이므로,
I - p1x1 - p2x2 = 0
위 식을 통해 x2를 구한 후, 소득 I에 대해 x1을 풀면 소득소비곡선을 얻을 수 있습니다. 이때, 소득소비곡선의 기울기는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
dx2/dx1 = (MU1 / MU2) * (p2 / p1)
여기서 MU1은 x1에 대한 효용함수의 미분, MU2는 x2에 대한 효용함수의 미분을 나타냅니다. 따라서, MU1/MU2은 x1의 가치 대비 x2의 가치를 나타내며, p2/p1은 두 재화의 상대적 가격을 나타냅니다. 이를 곱한 것이 소득소비곡선의 기울기입니다.
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