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1) L(w)의 값
L(w)를 찾기 위해선 먼저 소비자의 최대 만족을 위해 노동 공급과 소비의 균형을 찾아야 합니다.
이를 위해선 라그랑주 승수법(Lagrange multiplier method)을 사용하여 최적화 문제를 풀 수 있습니다.
라그랑주 함수를 다음과 같이 정의합니다.
L(C, l, λ) = 루트(Cl) - λ(C/W + L - 24)
이제 각 변수에 대해 편미분을 하여 편미분 값이 0이 되는 점을 찾습니다.
∂L/∂C = l/(2 * 루트(Cl)) - λ/W = 0
∂L/∂l = C/(2 * 루트(Cl)) - λ = 0
∂L/∂λ = C/W + L - 24 = 0
위 라그랑주 방정식 시스템을 풀어서 최적의 C와 l 값을 찾습니다.
그러면 아래와 같은 관계를 얻을 수 있습니다.
C = W * (24 - L)
이 관계를 U(C, l) = 루트(Cl) 식에 대입하여 L(w)를 구할 수 있습니다.
그러나 이 문제에서는 L(w)를 명확하게 표현하기 어려워 보입니다.
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2)후방굴절형 노동공급곡선을 지니는지
후방굴절형 노동공급곡선은 임금이 일정 수준 이상 상승하면 노동공급이 줄어들게 됩니다.
이는 노동자가 더 많은 수입을 얻게 되면 여가와 소비를 더 선호하게 되어, 노동 시간을 줄이게 됩니다.
이 문제에서는 L(w)의 명확한 형태를 구하기 어렵기 때문에 후방굴절형 노동공급곡선을 가지는지 여부를 명확하게 답변하기 어렵습니다.
그러나 일반적으로 이러한 효용 함수를 갖는 노동자가 후방굴절형 노동공급곡선을 가질 가능성이 있습니다.
이를 확인하려면 명확한 L(w)의 형태를 구한 후, 임금에 대한 노동 공급의 변화를 검토해야 합니다.
후방굴절형 노동공급곡선을 가지는지 확인하기 위해, 우선 L(w)를 구해야 합니다.
위에서 얻은 관계식 C = W * (24 - L)를 활용하여 U(C, l) = 루트(Cl) 식에 대입해 보겠습니다.
U(C, l) = 루트(W * (24 - L) * L)
이제 이 효용 함수를 최대화하는 최적의 L을 찾기 위해 노동 공급곡선 L(w)를 구해야 합니다.
효용 함수에 대한 첫 번째 도함수를 구하고, 이 값이 0이 되는 지점을 찾으면 됩니다.
dU/dL = (W * (24 - L) * L)^(-1/2) * (W - 2WL)
이 방정식을 풀기 위해서는 복잡한 수치해석적 방법이 필요할 것으로 보입니다.
그러나 일반적으로 후방굴절형 노동공급곡선이 발생하는 경우, 노동자는 임금 상승에 따라 여가를 더 소비하려는 경향이 있습니다.
이를 확인하기 위해 L(w)를 구한 후, 임금(w)에 대해 노동공급곡선의 기울기를 분석해야 합니다.
기울기가 양수에서 음수로 바뀌는 지점이 있다면, 그 지점에서 후방굴절형 노동공급곡선이 발생한다고 볼 수 있습니다.
그러나 이 경우에는 복잡한 수치해석적 방법을 사용해야 하므로, 후방굴절형 노동공급곡선을 가지는지에 대한 명확한 결론을 내리기 어렵습니다.
이를 확실히 알아내려면 L(w)의 형태를 구한 후 임금에 대한 변화를 분석해야 합니다.
감사합니다.
