동차함수를 정의하면 다음과 같습니다.
(n^i)f(a, b) = f(na, nb)
예컨대 개인이 a, b라는 재화를 소비한다고 가정하면, a, b를 각각 n배 더 많이 소비할 경우 효용이 n의 i승으로 나타날 때, 이를 i차 동차함수라고 합니다. 즉 i=1일 경우 a, b를 n배 더 많이 소비하면 효용도 n배로 증가한다는 것이죠.
예컨대 콥-더글라스 효용함수의 경우 일반적으로 u(a, b) = (a^c)(b^d)의 형태로 나타납니다. 이 때 a 대신 na를 넣고 b 대신 nb를 넣어보면, u(na, nb) = (n^(c+d))*(a^c)(b^d)의 형태로 나타나게 됩니다. 다시 말해 n의 (c+d) 승만큼 늘어난다는 것이므로, 콥-더글라스 효용함수는 c+d차 동차함수라고 나타낼 수 있는 것이죠.
그런데 레온티에프 효용함수의 경우 일반적으로 u = min(x, y)의 형태를 가지는데, 이 x와 y가 어떻게 나타나는지에 따라 1차 동차일수도 있고 아닐 수도 있습니다. 만약 min(x, y)의 형태라면 1차 동차함수이겠지만, min(x^2, y^2)의 형태라면 2차 동차함수가 되겠지요. 또는 min(x, y^2)이라면 동차함수가 아닐 수도 있습니다.
만약 n차 동차함수의 형태로 나타날 경우, 소득소비곡선은 원점에서 그은 방사선 형태를 가집니다. 하지만 동차함수가 아니라면 방사선이 아닐 수도 있습니다. 예를 들어 min(x^2, y)일 경우 소득소비곡선은 y = x^2으로 나타나는데, 이는 방사선 형태가 아니기 때문입니다.
선형효용함수의 경우 u = ax + by의 형태로 나타낼 수 있습니다. 이 경우 항상 1차 동차함수의 형태로 나타납니다. anx + any = nu로 나타나기 때문입니다.
선형효용함수의 경우 재화의 상대가격과 선형효용함수의 기울기가 서로 다를 경우 코너해(x 절편 또는 y절편)를 가지게 되는데, 이 경우 소득소비곡선은 x축이나 y축의 형태로 나타납니다. 쉽게 말해, 내가 x재 한 단위랑 y재 한단위 중 아무거나 소비해도 항상 같은 효용을 가지는데(u = x + y), x재 한 단위가 y재 두 단위랑 가격이 같다면 y재가 더 가성비가 좋으므로 소득이 늘어나도 무조건 y재만 소비할 것이라는 뜻입니다.
그런데 같은 가정 하에서 만약 x재 한 단위와 y재 한 단위의 가격이 같은 경우, 예산제약 내에서 x재만 사도 되고 y재만 사도 되고 또는 둘을 섞어서 사도 되겠죠. 따라서 이 경우 최적선택이 예산제약의 모든 점으로 나타날 것입니다. 상대가격이 변하지 않는 한 소득이 예컨대 10원 더 늘어나도 10원 내에서 x재와 y재를 마음대로 골라서 살 것이므로 소득소비곡선은 새로운 예산제약의 모든 점으로 나타날 것입니다. 따라서 이 경우 소득소비곡선은 방사선 형태가 아니라 삼각형의 면으로 나타나게 됩니다.
