미시경제학 선형효용함수

X 재 1 단위와 Y 재 2 단위가 서로 완전히 대체될 수 있다면,

효용함수는 U = 2X + Y 형태로 표현됩니다.

혹은, U = X + (Y/2) 형태로 표현됩니다.

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참고로, U = 2X + Y 형태의 효용함수와 U = X + Y/2 형태의 효용함수는 동일한 효용함수죠.

왜냐하면 효용함수는 기본적으로 서수적 효용을 가정하고 있기 때문에, 단조변환에 의해 두 효용함수는 본질적으로 동일한 것이 됩니다.

즉, X + Y/2 라는 형태에 양의 실수 2 를 곱한 것이 2X + Y 이기 때문에 단조변화에 해당합니다.

(혹여나 단조변환의 개념에 관해 익숙하지 않으시다면, 답변 하단부의 링크를 참조해보시기 바랍니다)

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어쨌든,

X 재 1 단위와 Y 재 2 단위가 서로 완전히 대체된다라는 사실이 U = 2X + Y 와 같은 형태로 표현되는 이유는,

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직관적으로 생각해보면,

X 재 1 단위와 Y 재 2 단위가 서로 완전히 대체된다라는 것은,

X 재 1 단위가 Y 재 1 단위보다 2배 더 소비자에게 가치가 있다(2배 더 효용을 가져다 준다)라는 뜻이겠죠.

효용함수란, X 와 Y 소비량이 효용에 얼마만큼 영향을 미치는지를 나타내는 함수이기 때문에, X 재 1 단위가 Y 재 보다 "2배 더 큰" 영향을 미친다라는 사실을 나타내기 위해서는 2X + Y 와 같은 형태가 되어야겠죠.

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조금 더 대수적으로 생각해보면,

효용함수가 U = 2X + Y 인 상태에서

원래 소비자가 X 재 4 단위와 Y 재 2 단위를 소비하고 있었다고 해봐요.

그러면, 효용을 10 만큼 받고 있는 상태겠죠(U = 10).

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그런데, X 재 1 단위와 Y 재 2 단위가 완전히 대체될 수 있다라는 말은,

X 재 소비를 1 단위 줄이고 Y 재 소비를 2 단위 늘려도 효용이 똑같이 유지된다라는 뜻입니다.

즉, 원래 소비자가 X 재 4 단위와 Y 재 2 단위를 소비해서 10 만큼의 효용을 얻고 있었는데,

이 상태에서 X 재 소비를 1 단위 줄이고 Y 재 소비를 2 단위 늘려, X 재 3 단위와 Y 재 4 단위를 소비하더라도 효용값은 여전히 10 으로 유지되죠.

따라서, 효용함수 형태는 U = 2X + Y 가 올바르다라는 사실을 확인해 볼 수 있습니다.

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만약 U = X + 2Y 형태가 되면요,

예를 들어, X = 6, Y = 2 인 소비점에서 10 만큼의 효용을 얻죠.

그런데 X 재 소비를 1 단위 줄이고 Y 재 소비를 2 단위 늘리게 되면(X 재 1 단위와 Y 재 2 단위가 완전히 대체될 수 있다),

X = 5, Y = 7 이 되며, U = X + 2Y 함수형태에 따르면 그 때의 효용값은 17 이 되기 때문에,

동일한 효용을 유지하는 상황이 아닙니다.

그래서 U = X + 2Y 는 "X 재 1 단위와 Y 재 2 단위가 완전히 대체될 수 있다"라는 사실을 표현하는 효용함수가 아니라는 얘기죠.

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X 재 1 단위와 Y 재 2 단위가 반드시 결합되어 사용되어야 하는 경우라면(완전보완관계),

U = min[2X, Y]

혹은

U = min[X, Y/2] 와 같은 함수형태가 됩니다.

(마찬가지로 단조변환 원리에 의해 두 함수는 본질적으로 동일함 함수이구요)

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효용함수의 단조변환에 관한 문제

효용함수의 단조변환에 관한 문제인데요단조변환 자체가 뭔지 잘 모르겠어요. X와y의 차수가 동일하게 되도록 미분하는 것을 말하는건가요? 그리고 처음에 저렇게 부등호 방향을 설정하는건...

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