생산함수는 y=ax1+bx2이고, x1의 가격이 w1, x2의 가격이 w2이므로,
비용함수는 c=w1x1+w2x2입니다. 문제에서 w1, w2, a, b는 모두 양의 상수라고 주어져있습니다.
따라서 알 수 있는 것은, 이것의 생산함수는 완전대체적 생산함수입니다. 일차함수 형태라는 얘기입니다.
그리고 비용 c에 대해서는 주어진 상수라고 나와있지 않습니다. 따라서 parameter임을 알 수 있습니다. c는 상수이기는 하지만 값이 변할 수는 있다는 얘기이죠.
따라서 이윤극대화 지점은 MRTS=a/b와, 등비용선의 기울기 w1/w2의 값의 비교에 따라서 달라집니다.
1) MRTS<w1/w2 인 경우에는 x2만을 생산하게 될 것이고,
2) MRTS=w1/w2 인 경우에는 x1, x2를 동시에 생산할 것이고,
3) MRTS>w1/w2 인 경우에는 x1만을 생산하게 될 것입니다.
1) 이때는 x1=0입니다. 따라서 y=bx2이죠. x2=y/b입니다.
따라서 c=w2x2=w2(y/b) 입니다.
2) 이때는 a/b=w1/w2입니다. 따라서 y=ax1+bx2=(w1/w2)bx1+bx2
y=b[w1x1/w2+x2], y/b-x2=w1x1/w2, w1x1=(y/b-x2)w2
따라서 c=w1x1+w2x2=(y/b-x2)w2+w2x2=w2(y/b)
즉, c=w2(y/b) 입니다.
3) 이때는 x2=0입니다. 따라서 y=ax1이고, x1=y/a입니다.
따라서 c=w1x1=w1(y/a) 입니다.