재무관리 채권의 가치평가 문제좀 풀어주세요

Q1. 만기가 서로 다른 순수할인 국채들의 만기별 현물이자율이 다음과 같다.

 

1년만기 국채 : 5%

2년만기 국채 : 6%

3년만기 국채 : 7%

4년만기 국채 : 8%

 

→

현물이자율(Spot rate)은 채권의 이론가격(적정가격)을 계산하기 위한 자료입니다.

 

화폐의 시간가치(TVM ; Time Value of Money)에 대해서는 알고 계실 것이나 믿고....

TVM을 반영하기 위한 할인율이 바로 주어진 현물이자율입니다.

 

재무관리의 기업재무관리파트나, 회계학의 사채의 장부가격을 계산 할 때

주어진 단 1개의 할인율을 사용하셨을 텐데

채권은 매 기간마다 할인율이 다릅니다.

(이를 '이자율의 기간구조' 라고 합니다.)

 

 

 

 

발행조건이 동일한 국채로서 액면가 2,000만원, 만기4년, 액면이자율이 6%인 채권을 구입하고자 한다.

 

1) 이 채권의 이론가격은 얼마인가?

→

채권이든 주식이든 파생상품이든 이론가격은 다음과 같이 계산합니다.

 

[ 이론가격 = ①미래 현금흐름의 ②현재가치의 ③총합 ]

 

① 미래 현금흐름

채권이 가져다 주는 미래 현금흐름은 이자와 원금이 있습니다.

이자 = 2,000 × 6% = 120　… 매기간 발생

원금 = 2,000　… 만기시점에 1번 발생

 

② 현재가치

매기간을 주어진 현물이자율로 할인하라는 의미입니다.

1기의 이자 120은 5%로, 2기의 이자 120은 6%로........

 

③ 총합

현재가치로 만든 뒤에 다 더하면 됩니다. (단순 산술합계)

 

 

→

수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

  

이를 계산하면

P ≒ 1,877 (만원) 입니다.

 

 

2) 위의 가격으로 이 채권을 구입할 경우 만기수익률은 얼마인가?

→

만기수익률(YTM)은 해당채권의 이론가격이 산출되고 난 후에

미래 현금흐름의 현재가치 총합이 이론가격이 되도록 하는 할인율을 의미합니다.

 

현물이자율은 어떤 채권이든, 이론가격을 산출하기 위해 적용(할인)할 수 있으나

만기수익률은 '그' 채권에 대해서만 적용되는 개념으로 이론가격에서부터 출발하여 할인율을 미지수로 놓고 산출되는 값입니다.

다시 말하면

현물이자율 : ① 할인율 → ② 가격 계산

만기수익률 : ① 가격 → ② 할인율 계산

 

수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

 

 

P에는 1)에서 계산한 1,877만원을 대입하고 (원칙은 소숫점 이하 금액까지 모두 포함하여)

미지수인 YTM을 산출하면 됩니다.

4차방정식이므로 재무용 계산기를 이용해야 하나

이자율의 기간구조 성질을 이용하여 추측하여 시행착오법으로 계산해보니

 

YTM ≒ 0.0785 (7.85%)가 나옵니다.

 

 

이자율의 기간구조 성질을 가볍게 언급하자면

YTM은 항상 Spot rate보다 약간 작은 값이 나온다는 것입니다.

 

Q2. 채권 A, B, C(액면가 10,000원의 할인채권)의 가격과 각 기간에서의 현금흐름이 다음과 같다.

채권	시장가격	t1	t2	t3
A	9,009원	10,000원
B	8,264원		10,000원
C	7,722원			10,000

 

1)이 자료로부터 현물이자율 (r1, r2, r3)과 선도이자율(0r1, 1r2, 2r3)을 구하라.

→

1. 현물이자율 () : t기의 현물이자율을 왼쪽과 같이 표현합니다.

 

Q1. 1)에서 설명드렸듯이

채권의 이론가격을 구하기 위해서는 현물이자율을 사용해야 합니다.

보는 방향을 조금만 바꾸어보면 이론가격이 주어지면 역산하여 현물이자율을 계산할 수 있죠...

 

현재 시장가격이 주어져 있지만

별다른 언급이 없는 한 시장은 균형이고 (시장이 균형이라 기본으로 전제하고 이론을 전개하는 '균형이론'임)

시장이 균형일 때 [ 이론가격 = 시장가격 ] 이 성립하므로

시장가격을 이용하여 현물이자율을 계산 할 수 있습니다.

 

채권 A에 대해 식으로 표현하면 다음과 같습니다.

 

분모와 P의 위치를 바꾸면

이를 풀면 0S1 ≒ 0.11 (11%) 임을 알 수 있습니다.

 

채권 B,C에 대해서도 똑같이 적용하면 됩니다. (하실 수 있겠죠?)

물론 현금흐름이 발생한 기간 (2기간이면 할인율을 2번적용 등)을 고려해주어야 하지요....

 

답만 적어드리면

0S2 ≒ 0.1 (10%)

0S3 ≒ 0.09 (9%)

 

2. 선도이자율 (Forward rate :  ) : t기의 선도이자율을 왼쪽과 같이 표현합니다.

 

선도이자율이란 현물이자율로부터 계산되는 값입니다.

즉, 현물이자율을 계산한 결과를 그대로 이용하면 됩니다.

 

[현물이자율은 선도이자율의 기하평균] 입니다.

이를 수식으로 표현하면

 

다만 1기에는 현물이자율과 선도이자율이 같기 때문에

정식 서적이나 이론적으로는 0F1이 아닌 0S1으로 표현을 하고 있습니다.

 

0F1 = 0S1 = 0.11

 

(1 + 0S2)^2 = (1 + 0F1) × (1 + 1F2)

(1 + 0.1)^2 = (1 + 0.11) × (1 + 1F2 )

　　∴ 1F2 ≒ 0.09

 

(1 + 0S3)^3 = (1 + 0F1) × (1 + 1F2) × (1 + 2F3)

(1 + 0.09)^3 = (1 + 0.11) × (1 + 0.09) × (1 + 2F3)

　　∴ 2F3 ≒ 0.07

 

 

2) 이자료에 근거하여 수익률 곡선을그림으로 나타내라

온라인에서 그림을 그리기 어렵기 때문에 그림을 직접 그리진 않겠지만

 

가로축에 시점 (1시점, 2시점, 3시점)

세로축에 이자율 (현물이자율 3개의 점, 선도이자율 3개의 점)

을 이용하여

현물이자율 3개의 점으로 이루어진 부드러운 곡선 ( ┐의 곡선모양)과

선도이자율 3개의 점으로 이루어진 부드러운 곡선 ( ┐의 곡선모양)을 그릴 수 있습니다.

 

 

3) 채권 D는 채권 C와 동일한 3년 만기의 액면이자율이 6%인 이표채이다. 채권 D의 시장가격이 10,022원이라면 , 채권 D는 과소평괴되어있는가? 혹은 과대평가 되어있는가?

→

채권의 과소평가,과대평가 여부를 묻는 문제는

현재의 시장가격이 이론가격과 얼마나 차이가 있는지를 묻는 문제입니다.

 

주어진 시장가격과 비교할 이론가격을 구하기 위해 1)에서 구한 현물이자율을 이용합니다.

 

채권D

① 미래 현금흐름

 (참고 : 이표채 = 이자가 있는 채권 / 무이표채(순수할인채) = 이자없이 원금만 있는 채권)

 매 시점의 이자(3번) = 액면가 × 액면이자율 = 10,000 × 6% = 600

 만기시점의 원금 = 10,000

 

② 할인율

 1기 : 0.11

 2기 : 0.10

 3기 : 0.09

 

∴ ( 600 ÷ 1.11) + ( 600 ÷ 1.1^2 ) + ( 600 ÷ 1.09^3 ) + ( 10,000 ÷ 1.09^3 )

　≒ 9,222(만원)

 

[　이론가격 9,222  < 시장가격 10,022　] 인 상태이므로

시장에서 과대평가 되어있습니다.

(현재 시장가격은 일시적인 것이고 향후 시간이 흐름에 따라 이론가격인 9,222로 낮아질 것)

 

 

4) 채권 B는 2년만기의 액면이자율이 5%인 이표채이다. 이 채권의 만기수익률은 얼마인가?

→

 

이 문제는 방향만 제시해드릴테니 직접 계산해보시기 바랍니다.

 

1. 채권B를 분석하여 이론가격 구하기

　① 미래현금흐름 (이자 , 원금)

　② 할인율 ( 1) 에서구한 현물이자율을 이용하면 됩니다.)

　③ 현재가치 총합 ( 매 기간에 맞추어 할인한 뒤 다 더하면 됩니다.)

 

2. 채권B의 만기수익률 구하기

　① [ P = 미래현금흐름 ÷ (1+YTM)^t ] 식을 만들기

　② P = 1에서 구한 이론가격 대입하기

　③ YTM이라는 미지수가 포함된 2차방정식 풀기 (근의 공식 이용하셔도 되고..시행착오법도 괜찮습니다..)

 

답

1. P ≒ 9,128 만원

2. YTM ≒ 0.095 (9.5%)

 

 

5) 현재 시장의 무위험채권 수익률이 2%이다. 채권 B의 수익률스프레드는 얼마인가?

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조금은 모호한 표현이라 확신은 못하지만

무위험이자율이 주어진 것으로 보아 위험프리미엄(R.P ; Risk Premium)을 구하라는 의미로 보겠습니다.

 

0.095 = 0.02 + R.P

 

∴ R.P = 0.075

 

 

6) 채권 B는 다음과 같은 두 가지의 상황을 가지고 있다.

  상황 1 : 약속된 만기수익률을 받을 수 있다.(확률 0.6)

  상황 2 :  채권의 상환이 불가능하며 수익률은 0이다.(확률 0.4)

  이때의 기대수익률은 얼마인가?

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주어진 확률로 가중평균 하라는 문제입니다.

 

0.6 × 0.095 + 0.4 × 0 = 0.057 (5.7%)

 

7) 채권 B의 채무불이행위험프리미엄과 위험프리미엄은 얼마인가?

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위험프리미엄(R.P)은 5)에서 구한바와 같습니다.

 

채무불이행 위험 프리미엄은 6)에서 구한 (채권의 상환이 불가능한 경우를 고려한) 수익률을 이용합니다.

 

채무불이행 위험이 반영된 할인율 = 무위험 할인율 + 채무불이행 위험 프리미엄

　　　　　　0.057　　　　　　　　　　　0.02　　　+　　　　　X

 

∴ X = 0.037