1. 함수의 의미
함수는 자연 현상이나 사회현상을 파악하여 그 법칙성을 연구하는 수단이 되며,
수학의 여러가지 내용을 연구하는 데 필요한 기초적인 개념이다.
함수는 영어로 function이라고 하는데, 이것은 라틴어 functo에서 나온 용어로 <작용> 또는
<기능>을 뜻한다.
함수는 function을 중국어로 음역한 것이다.
함수를 수학적 용어로 처음 사용한 사람은 독일의 수학자 라이프니츠로 변수 x 의 값이 변함에
따라 다른 변수 y 의 값이 정해지면, 이때 y를 x의함수라고 정의하였다.
함수를 나타내는 기호 f(x)를 사용하게 된 것은 스위스의 수학자 오일러였으며 프랑스의 코시는
두 변수 사이의 관계로 함수를 정의하였다.
그러나, 함수는 두 집합 사이의 대응관계이며, 그를 나타내는 식이나 규칙, 변수등이 본질적인
것이 아니라는 생각을 명확하게 한 것은 프랑스의 수학자 디리클레이었다.
2. 함수의 역사
우리나라의 고등학교 교육과정중에서 공통수학과목의 내용 중 함수에 관련된 내용은 1/3이상으로
큰 비중을 차지하고 있다. 그러면 함수(函數)의 역사는 어떻게 될까?
함수라는 용어가 수학에서 쓰여진 것은 17세기였으며, 함수의 개념은 라이프니츠(Leibniz, G.W.;
1646-1716, 독일)에 의하여 처음으로 확립되었다.
17세기 이전에도 프톨레마이오스(Ptolemaeos, K.; ?-?, 그리스)에 의해서 만들어진 삼각 함수적인
표가 있었다. 이것은 함수 개념의 발달에 필요한 운동, 변화, 무한성이라든지, 두 양 사이의 상관
적인 관계를 통한 법칙성의 발견이라는 입장에서 다루고자 하는 의도는 없었던 것이다.
또한 르네상스 이후에 코페르티쿠스(Copermicus; 1473-1543,폴란드), 케플러(Kepler, J.;1571-1630,
독일), 갈릴레이(Galilei, G.; 1564-1642, 이탈리아)등은 이미 그리스 수학에서, 운동이나 무한에
대해서 회피하였던 것을 운동이나 무한은 물론 상관에 대해서도 파악하고자 노력하였다.
그러나, 이들 대부분은 관찰이나 실험이 주된 것이어서, 수학의 분양에 있어서 논리적으로 확히
다루어진 것은 아니었다.
라이프니츠는 '변수 x의 값의 변화에 따라서 다른 변수 y가 정해진다면, y를 x의 함수'라고 정의하
였고, 함수와 곡선을 같은 것으로 보아 곡선이 함수를 규정하는 것이라고 생각하였다.
그 후, 1694년에 함수라는 것은 방정식에 의하여 표시되는 사실이라고 주장하게 되었고, 함수 관계
를 그림이나 식의 어느 쪽으로 나타내어도 무방한 것이라는 태도를 취하게 되었다. 그러나, 그의
연구 방법은 주로 기하학적인 것이어서, 그림을 통한 직관적인 판단이 선행되었으므로 논리적 엄밀
성이 결여되었고, 증명도 완벽하지 못하였으며, 함수라는 용어도 막연한 것이었다. 18세기에 들어
서서 역학을 다루는 범위가 광범위하여 지자, 탄성체, 유체와 같은 연속체의 역학과 그에 따른 천체
역학 등이 탄생되니 여러 문제를 해결하기 위하여 미적분의 연산에 대한 짜임새를 최대한으로 활용
하기에 이르러 외형적으로는 현재의 해석학과 비스소한 단계까지 발달되었으며, 자연과학에 있어서
강력한 도구로서의 역할을 하게 되었다.
18세기의 가장 위대한 수학자인 오일러(Euler, L.;1707-1783, 스위스)는 '변수와 상수에 의해서 만
들어지는 해석적인 식'이라고 함수를 정의하여, 함수를 그림과는 분리된 해석적인 표현을 하게 되었
으나, 오일러는 임의 함수를 정한 것이나 실제로는 해석적인 함수에 한정되어 있었다. 19세기는 종
래의 해석적인 함수에 대한 비판적인 시기였다.
디리클레(Dirichlet, P.;1805-1859, 프랑스)는 '두 변수 x, y에 있어서 x의 값을 정하면 그에 따라
서 y의 값이 정하여질 때, y는 x의 함수이다.'라고 함수를 정의 하여, 라이프키츠의 함수에 대한
개념을 뒤덮고 함수는 식 표시 이전의 것이라는 데에 처음으로 주목하였다. 그는 분명히 y를 식으
로 나타낸다는 종래의 입장을 벗어나 대응이라는 생각을 표면에 들어내고 있다.
오늘날에는 그의 정의를 더욱 발전시켜서 곡선이 먼저이고 그것에 의하여 함수가 정하여지는 것으로
생각하게 되었다.
3. 함수의 개념
1) 종속관계ㆍ대응관계로서의 함수의 본질
함수 개념은 그 역사적 발생의 맥락에서 보면 여러 가지 물리적, 사회적, 정신적 세계 특히 수학적
세계에서 일어나는 변화 현상 가운데 그 '종속 관계'를 설명하고 기술하고 조직하기 위한 도구로서
도입되었다. 특히 과학의 발전과 더불어 함수는 자연의 법칙을 탐구하여 기술하는 중심적인 도구로
사용되어 왔다. 근대 과학의 아버지라고 일컬어지는 Galileo는 유명한 피사의 사탑에서 낙체 운동에
대한 실험을 하여 자유낙하 운동에서 물체가 떨어지는 거리 y는 시간 t의 이차함수 곧, y=gt2임을
발견하였다.
함수는 고전적으로는 독립변수와 종속변수 사이의 종속 관계를 의미하는 것이었으나, 오늘날에는
집합 A로부터 B로의 함수란 A의 각 원소에 B의 한 원소가 대응되는 관계로 정의된다. 곧, 임의의
a∈A에 대하여 (a, b)∈f인 단 하나의 b∈B가 존재할 때 그러한 관계 f⊂A×B를 A로부터 B로의 함
수라고 한다. 이러한 함수의 정의는 함수의 고전적인 의미 가운데 본질로서 내포되어 있는 것으로
볼 수 있지만, 현상학적으로나 교수학적으로나 그와 같은 것이라고 보기 어렵다. 전자는 역동인데
비해 후자는 정적이며, 전자는 변화 현상과의 관련성이 풍부한데 비해 후자는 추상적인 형식으로
그렇지 못하다.
2) 함수의 편재성과 그 표현의 다양성
독립변수와 종속변수 사이의 함수 관계를 기술하는 직접적인 패턴은 함수표와 그래프, 치환 기호
등이 있으며, 일반적으로 함수 관계는 '...의 함수로서의 ...'와 같은 형식으로 나타낸다. 이를테면,
반지름의 함수로서의 원의 넓이, 시간의 함수로서의 경과 거리, 주어진 곡면 위에서 점의 함수로서의
법선 벡터, x의 함수로서의 x2-4x+3 등과 같이 나타낸다. 그리고 마지막 예의 경우 이를 기호로
f(x)=x2-4x+3 또는 x → x2-4x+3과 같이 나타낸다.
특히, 여기서 f(x)=x2-4x+a와 같은 함수는 매개변수 a에 좌우되므로 그 자체가 종속변수가 된다. 따
라서 fa(x)=x2-4x+a와 같이 나타낼 때 함수 f(a)=fa 또는 a→(x→x2-4x+a)가 정의된다. 함수식에서
매개변수는 세가지 의미로 사용된다. 첫째, 매개변수 a에 의해서 함수 체계 fa(x)=x+a를 얻을 수 있
듯이, 매개변수는 필요할 때 말하자면 깨워서 고려할 수 있는 잠자는 이차적인 독립변수이다.
둘째, 그 기원에 따르면 종속변수이지만 그 외형은 독립변수로서 도형의 구조를 결정하는 역할을
하는 변수이다. 이를테면, 원의 함수로서의 원의 반지름이나 포물선 y2=4px의 모양을 결정하는 매개
변수 p 등이 그러한 것이다. 셋째, 곡선이나 곡면 등의 매개변수 표현을 생각해 볼 수 있다. 이를테
면, xy평면에서 단위원 x2+y2=1은 정점으로부터의 호의 길이 s에 의해 x=coss, y=sins로 매개변수
표현이 된다. 함수 관계를 나타내는 또 다른 패턴으로는 ...의 어머니, ...의 중점, ...의 넓이, ...
의 제곱, ...의 도함수, ...의 합 등과 같은 소유격 패턴이 있다. 수학 언어에서 어떤 함수는 a+b,
a×b, sin, cos, tan, log, ax, √, lcm, gcd. max, min, lim, n(A), p(A), {ai}(i∈N), f', Ac,
│x│, [x], d/dx,∫xa f(t) dt 등과 같은 고정된 기호로 나타낸다. 현재와 같은 함수 개념 지도로
는 이러한 기호를 모두 함수 기호로 받아들이기를 기대하기는 어려우며, 와 같이 적분기호로 함수
를 나타내고 함수를 매개변수로 나타내는 것은 학생들에게 그 의미를 파악하는데 어려움을 야기시킬
것이다.
3) 수학적ㆍ과학적 사고의 바탕으로서의 함수
오늘날 함수는 종속변수, 사상, 변환, 치환, 연산, 범함수, 작용소, 수열, morphism, functor 등과
같은 다양한 이름으로 현대 수학의 도처에 등장한다. 흔히 치역이 실수의 집합일 때 함수라는 용어를
선호하며, morphism은 구조 사이의 관계를 보존하는 사상으로 접두어를 붙여 isomorphism과 같이 접
두어를 붙여 그 유형을 구분한다. 수열은 자연수의 집합으로부터 수, 점, 함수 등의 집합으로의 함수
이다. 그리고 functor는 두 카테고리의 morphism의 집합 사이의 합성과 항등원을 보존하는 함수이며,
치환은 유한집합 내의 일대일 사상을 나타낸다. 범함수는 함수의 집합에서 실수의 집합으로의 함수를
가리킨다. 함수는 수학의 모든 분야에 내포되어 있으며, 함수 현상의 외형은 이와 같이 다양한데 함
수적으로 생각한다는 것은 대체 어떤 것인가?
함수는 실세계와 수학을 조직하는 수단이다. 함수는 실세계 현상을 모델링하는데 가장 일반적으로 사용
되며, 운동을 시간의 함수로 모델링하는 것은 특히 중요하다. 함수는 현대수학에서 추상적인 수학적 구
조를 비교하는데 널리 이용된다. 이를테면, 두 집합이 같은 농도를 가지는지, 두 위상 공간이 동위상인
지, 한 군이 다른 군과 준동형인지를 함수를 사용하여 기술하며, 지수함수 y=ex는 실수의 가법적 군구
조가 양의 실수의 승법군과 동형임을 말해준다. 또한 함수는 벡터공간과 같은 추상적인 구조를 이루며
그러한 구조 위에서 벡터의 덧셈이나 스칼라곱과 같은 연산도 함수이다. 미적분에서 함수는 미분하고
적분하는 대상이면서 도함수를 구하는 미분과 부정적분을 구하는 적분도 작용소 곧, 함수이다. Klein
이 지적한 바와 같이 함수는 과연 수학적 사고의 심장이요 혼이라고 할 수 있다.
함수는 이와 같이 집합과 함께 현대 수학의 대표적인 '통합 개념'이요 조직 개념이기 때문에 '새 수학'
이후 학교수학에서 매우 강조되고 있다. 집합, 공통집합, 합집합, 여집합, 곱집합, 부분집합 등은 현대
수학을 전개하는데 필수적인 언어가 되고 있으며, 현대 수학의 수학적인 풍요함은 함수적 관점에 의해
창안된다. 그런데 매우 다양한 여러 가지 현상을 함수로 간주하는 것과 함수로 어떤 것을 하는 것 곧,
여러 가지 대상을 함수에 독특한 방식으로 함수적으로 다루는 것은 다른 것이다. 함수라는 이름을 붙
일 수 있느냐가 중요한 것이 아니라 어떻게 함수적으로 조작하느냐가 중요하다. 수학적 사고 활동에서
함수적인 조작은 통합화의 필요성 이상의 의미가 있다.
4. 함수의 역사적 발생
함수 개념은 비례관계, 종속변수, 대응 등과 같이 오랜 역사적 발생 과정을 거쳐 세련되어 온 매우 강력한 개념으로 수학의 밑바탕에 폭넓게 스며있는 기본적인 개념이며 그 본질을 규정하기가 용이하지 않은 포괄적인 개념이다. 수학은 간단한 체계의 미묘한 성질을 다루고 과학은 복잡한 체계의 간단한 성질을 다룬다는 주장이 있다. 수학에서 사용되는 언어는 매우 단순한 듯하지만 그 의미는 매우 풍부하고 미묘하다.
함수 개념은 변화 현상을 좌표평면 위에 곡선으로 나타내어 종속관계를 기술하는 '기하학적인' 측면, 유한개 혹은 무한개의 항으로 이루어진 '해석적인' 식으로 나타내어지는 '대수적인' 측면 및 대응 관계로서의 '논리적인' 측면이 있다. 오늘날 우리가 진부한 것으로 받아들이고 있는 함수 개념의 본질을 명확히 하려는 시도를 하는 가운데 함수 개념의 발전 과정에서 수학자들이 겪은 흥분과 도전감을 재현하는 것은 교육적으로 매우 소중한 것이다.
1) 고대 수학에서의 함수의 암묵적인 사용
다른 수학적 개념과 마찬가지로 함수는 그 이름이 주어지기 오래 전에 존재하였다. 함수 개념의 암묵적인 출현은 기원전 2000년 경의 고대 바빌로니아 시대까지 거슬러 올라갈 수 있다. 수표는 흔히 함수를 나타내는데 기원전 5세기 경의 바빌로니아 사람들의 천문학 연구에서 그러한 수표를 찾아 볼 수 있다. 그들은 천체의 위치의 주기성을 발견하고 경험적 자료를 바탕으로 천체의 운동을 나타내는 경로를 추정하고 이를 수표로 나타내었다. 그리스 천문학자들은 구면삼각법을 사용하였으며 천체 운동을 기술하는데 원운동 모델을 이용하였는데 이는 수학적으로 보면 천체 운동을 삼각함수로 기술한 것이다. 그리스 천문학자들이 오늘날 삼각함수라고 불리우는 것을 알고 있었다는 사실은 Ptolemaeus (85?-165?)의 천문학 책 속에는 현의 표가 나오는데 원에서 중심각 α에 대한 현의 길이와 사인값 사이의 관계는
임을 보면 알 수 있다. 현을 뜻하는 힌두어가 그 발음에 따라 아라비아어로 '가슴'이 되었고 이를 라틴어로 번역하여 'sinus'가 되었다고 한다.
sine보다 오래된 것이 기울기나 그림자의 길이와 관련되어 자연스럽게 제기된 tangent로 그 기원은 바빌로니아 수학까지 거슬러 올라간다고 한다. 아라비아 수학자들은 오른쪽 그림과 같은 그림자에 대한 표를 만들어 사용하였는데 이는 오늘날의 탄젠트 표와 같은 것이다. tangent란 용어는 수직인 그림자가 원의 접선 위에 오기 때문에 붙여진 이름일 것이다. 일차함수, 이차함수, 삼차함수와 같은 초등함수의 기원 역시 비록 그것이 의식적으로 다루어지지는 않았지만 바빌로니아 수학에서 찾아볼 수 있다.
2) 변량 사이의 종속관계로서의 함수의 등장
15세기 중엽부터 17세기 중엽까지 일어난 일련의 수학적 발전 곧, 실수로의 수 개념의 확장, 기호 대수의 창안, 해석기하학의 발달, 과학의 중심 문제로서의 운동에 대한 연구 등은 함수 조작이 의식화되기 시작하는 바탕이 되었다. 특히 17세기에 출현한 해석기하학과 수학화된 역학은 함수적 관계의 역동적인 측면을 부각시켰으며, 방정식에 의한 변량 사이의 관계의 표현으로 여러 가지 곡선의 성질에 대한 연구와 함수 개념의 의식화를 가능하게 한 결정적인 계기를 마련하였다.
그 결과 개념화된 함수는 17세기에 이르러 역학에서 물체의 운동을 곡선으로 나타내어 연구하는 가운데 시간과 거리와 같은 변량 사이의 관계로서 수학에 도입되었다. 함수란 용어는 17세기에 Leibniz(1646-1716)와 Bernoullis(1654-1705)의 서신 왕래 가운데 처음으로 등장하였다. Leibniz는 곡선과 관련된 기하학적 대상을 기술하기 위하여 '함수'란 용어를 도입하였다. 이를테면, 그는 '접선은 곡선의 함수이다'라고 기술하였다.
寫像이란 개념과 용어는 지도 제작법과 관련해서 구면의 평면 위로의 사상을 연구한 Euler의 논문 가운데에서 그 전조를 찾아볼 수 있다.사상은 이와 같이 기하학적인 기원을 갖는 개념으로 집합론의 중요한 도구가 되었고 위상수학에서 주요한 연구 대상이 되었다.함수와 사상이란 두 줄기가 통합된 것은 20세기에 들어와서이다. 라이프니츠 미적분법의 발명자인 Newton(1642-1727)과 Leibniz가 그 힘을 검증한 것은 기하학적이고 운동학적인 량 사이의 함수 관계에 대해서이다. 그러나 량 사이의 함수 관계를 명확히 하고 이를 기호로 나타내게 된 것은 그 후의 일이며, 량의 기호와 함수 기호 사이의 혼동이 오래 동안 지속되었다. 함수 기호 f를 처음 사용한 수학자는 18세기의 Euler(1707-1793)와 d'Alembert(1717-1783)이었다. 함수 개념이 등장하던 초기에는 독립변수와 종속변수의 구분이 없었으며 변수 사이의 상호 종속성, 따라서 미분 사이의 상호 종속성을 생각하였는데, 이는 미적분법의 발달에 중대한 결과를 가져왔다. 이를테면, du/dv에서 곧바로 dv/du=1/(du/dv)를 이끌어낼 수 있고, 변수를 자유로 전환할 수 있어 적분 ∫ydx에서 독립변수 x를 적절한 변수 t로 치환하고 dx=dx/dt dt로 놓아 간단히 계산할 수 있게 된 것이다. 또한 x와 y, y와 z 사이의 상호 종속관계를 알고 있으면 y를 소거하여 x와 z 사이의 종속관계를 말할 수 있고, 역으로 x와 z 사이의 상호 종속관계를 x와 z사이에 y를 끼워 넣음으로서 x와 y, y와 z 사이의 종속관계로 절단할 수 있으며, 미분법에서 dz/dx=(dz/dy)(dy/dx)와 같은 계산을 할 수 있게 되었다.
이를테면, 일차방정식 ax+by+c=0에 포함된 변수 가운데 한 변수에 독립적인 역할이 주어지지 않는 한 다른 변수는 함수가 아니고 변수일 뿐이다. 독립변수와 종속변수를 구분할 필요성은 이계도함수를 생각하게 되면서 촉진되었는데, 변수 사이의 종속성에서 해석학의 폭발적인 성장의 근원을 생각해 볼 수 있다. 물론 이는 Leibniz학파의 미적분법과 그 기호의 개발이 미친 영향을 부정하는 것은 아니다. 변수 x와 y, y와 z 사이의 종속 관계로부터 x와 z 사이의 종속 관계를 이끌어내는 것은 함수 기호로 나타내면 종속관계 y=f(x), z=g(y)를 나타내는 함수 f와 g를 합성하여 z=h(x)=g(f(x)) 곧, 함수 h를 얻는 것을 의미한다. 그리고 x와 y 사이의 종속 관계에서 독립변수를 x에서 y로 바꾸는 것은 x를 y로 사상하는 함수 f를 거꾸로 하는 것을 뜻한다. 해석학의 등장 이전까지는 대수는 전형적인 대수적 연산인 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기, 거듭제곱하기, 제곱근 구하기 등에 의해서 지배되었다. 이들 연산은 함수에도 수행될 수 있다. 그러나, 함수는 합성하고 역관계를 생각하는 새로운 관점을 열어, 기본적인 함수로부터 새로운 함수를 매우 풍부하게 고안할 수 있도록 하였으며, 복잡한 함수를 보다 간단한 함수로 분해할 수 있고, 가역적 조작 곧 역함수를 고려할 수 있게 됨으로서 수학적 사고에 풍부한 조작 가능성을 제공하였다.이를테면 지수함수와 로그함수의 관계, 미분과 적분을 서로 관련짓는 미적분학의 기본정리, 합성함수와 역함수의 미분법과 치환적분법 등은 그 예가 된다. 현대수학에서 함수 개념이 발휘하는 커다란 힘, 수학을 조직하는 도구적인 힘은 새로운 가능성을 열어준 함수를 합성하고 역함수를 생각하는 이러한 새로운 조작에 근거하는 바가 크다.
3) 식으로서의 함수
해석기하학의 발달과 함께 여러가지 곡선이 방정식으로 표현되게 되면서 방정식에 나타나는 기호 사이에 성립하는 관계에 주목하게 되었으며 Bernoulli는 변수와 상수로 구성된 량을 그 변수의 함수라고 부르게 되었다. 변량 사이의 함수 관계가 하나의 방정식으로 나타내어지게 되었다. Euler는 그러한 상황을 일반적인 것으로 인식하고 변량 사이의 관계를 나타내는 해석적인 표현 곧 식을 함수라고 정의하였다. 그리고, 함수는 곡선과 밀접한 관련성을 갖고 있었고 그러한 곡선은 대부분 多價 대응이었으나, 한 변수의 다른 변수에 대한 종속 관계가 다가 대응이 되는 경우 다루기가 혼란스러워지며, 특히 음함수와 같은 함수식에서 한 변수를 다른 변수로 나타낼 때 여러 개의 식이 나오게 되는 경우 혼란을 일으키게 되므로 수학자들은 함수를 변수 사이의 一價 대응으로 제한하게 되었고 결국 이것이 함수의 일반적인 정의로 받아들이게 되었다.
4) 대응으로서의 함수
18세기 후반에 진동하는 끈에 대한 편미분방정식의 해에 대한 논의에서 하나의 해석적인 식으로 나타내어지지 않는 함수가 등장하였고, Fourier(1768-1830)가 열전도에 관한 연구에서 임의의 함수는 삼각급수로 전개 가능하다는 주장을 제기하면서 함수는 하나의 해석적인 표현이 가능한 것이라는 전통적인 관념에 혁명적인 변화가 일어났다. 함수 개념의 외연의 확장과 내포의 커다란 변화가 불가피하게 된 것이다. 그리하여 하나의 특별한 형태의 곡선으로 나타내어지건 그렇지 않건 규칙성이 있어 하나의 해석적인 표현이 가능하건 그렇지 않건 Fourier급수로 전개되건 그렇지 않건, 일반적으로 어떤 독립변량의 값에 따라 그 값이 정해지는 종속변량은 모두 함수라는 생각에 이르게 되었으며, 급기야 19세기 초에 Dirichlet(1805-1859)에 의해, 주어진 구간의 각 점에 임의의 값이 대응되는 대응 관계를 함수라고 정의하는 일반적인 함수 개념이 제기되게 되었다. 당시에는 이러한 임의적인 함수란 매우 혁신적인 발상이었으므로 'Dirichlet의 의미로'란 단서를 붙여 사용하였다. 그리하여 유리수에는 1, 무리수에는 0을 대응시키는 함수까지 생각할 수 있게 되었다.
이와 같이 일가성과 임의성은 역사적 발생의 과정에서 생긴 함수 개념의 본질적인 특징이다. 수학의 발달과 더불어 함수는 임의의 집합 사이의 사상으로 일반화되고, 정의역이 수나 점뿐만이 아니라 수의 쌍, 곡선, 함수, 연산자 등 임의의 집합인 함수로 일반화 되었다. 그리하여 해석학에서의 함수, 기하학적 변환, 유한집합의 치환, 임의의 집합의 사상 등이 어우러져 임의의 집합 사이의 디리클레 多對一 대응이란 일반적인 함수 개념에 이르게 되었으며, 대수적인 연산, 범함수, 작용소, 수열, 좌표, 논리적인 술어 등 매우 다양한 내용을 포괄하는 개념이 되었다. 함수의 합성과 역함수 조작은 치환군과 변환군 나아가 일반적인 군론을 탄생시키고 그 핵심인 자기동형군이란 도구를 낳았다. 변환군은 기하학을 조직하는 도구가 되어 변환기하학이 탄생하고, 위상수학에서는 연속사상과 위상적 변환이 연구의 도구이자 대상이 되었으며, 대수의 Erlanger Programm이라고 일컬어지고 있는 카테고리 이론이 나오면서 수학은 寫像의 학문으로 간주되기에 이르렀다. 오늘날 함수 개념은 운동학적인 변수 측면이나 규칙성과 알고리즘적인 대수식 표현 및 그래프적인 표현에 구애되지 않는 '임의의 집합 사이의 임의적인 일가적 대응 관계' 곧,적집합의 부분집합인 순서쌍의 집합이란 Bourbaki식의 관계적 정의로 일반화되어 수학 전체를 조직하는 도구가 되었다. 따라서 학문의 구조를 강조한 '새 수학' 이래 이러한 현대적인 함수 개념을 초등화한 내용이 소위 지식의 '구조'란 이름 아래 학교수학에 조기에 도입되게 되었다.
이러한 추상적인 현대적인 함수 개념은 오랜 역사발생적 과정을 거쳐 수학화되어 오는 동안에 원래의 함수적 사고에서 중요시 되었던 여러가지 측면이 捨象된 추상적인 형식이므로 학생들에게는 원래의 도구적 의미가 감추어진 피상적인 소위 '구조의 표층'으로 제시되기 쉬운 것이다. 함수는 종속변수, 공식, 그래프, 대응, 적집합의 부분집합 곧 관계, 수학적인 대상 등 다양한 측면을 갖고 있는 복합적인 개념이다. 함수 개념은 문맥에 따라 역동적인 변화 현상 가운데의 종속 관계를 기술하고 해석하고 예언하기 위한 수단으로서의 변수 측면과 그 규칙성을 나타내는 식 표현과 그래프 표현 그리고 다양한 대응 관계적 측면을 포괄하는, 수학 내적 외적인 제현상을 이해하고 조직할 수 있는 수단으로 작용할 때에만 그 진정한 개념적인 힘을 발휘할 수 있는 것이다. 집합 사이의 대응이란 형식적인 관계적 측면만을 강조하드시 수학교수학에서 이러한 함수 개념의 본질 가운데 어느 한 측면만을 강조하는 것은 바람직하지 않을 것이다.
익명 작성일 - 