'생활속의수학' 10가지 그림X//부탁드려요

꿀벌의 집은 왜 정육각형일까요?

어느 집이나 부엌 한 켠에 꿀이 있어요. 건강에도 좋고 음식에도 여기저기 유용하게 쓸 수 있는 꿀은 꿀벌이 만들어놓은 거랍니다.

이 꽃 저 꽃을 날아다니며 꿀을 따오는 일을 하는 꿀벌의 집 모양은 정육각형이에요. 꿀벌은 부지런하고 또 굉장한 건축가에요. 꿀벌의 집을 들여다보면 정육각형 모양의 작은 방들로 빼곡히 메워져 있는데 그 뛰어난 솜씨에 감탄하지 않을 수 없어요. 그런데 왜 하필 정육각형 모양으로 집을 만드는 걸까요?

 

 

먼저, 평면을 가득 채울 수 있는 도형이 어떤 것이 있을지 생각해 보면요~ 정다각형 가운데 평면을 빈틈없이 메울 수 있는 것은 정삼각형, 정사각형, 정육각형 뿐입니다. 정오각형의 한 내각은 108도인데 한 꼭지점에 3개의 정오각형을 모으면 12도만큼 벌어지게 되어서 평면을 메울 수가 없어요. 마찬가지로 정칠각형 이상인 경우도 한 꼭지점에 2개를 모으로 남은 틈을 그 정다각형으로 메울 수 없어요. 그럼 꿀벌은 세 도형 가운데 어느 하나를 선택해야겠죠?

 

만약 정사각형 모양으로 집을 만들면 어떻게 될까요? 이 모양은 양쪽 옆에서 조금만 건드려도 잘 흔들리기 때문에 바람이 불면 꿀이나 알이 온전하진 않을 거예요. 그럼 정삼각형은 어떨까요? 튼튼하겠지만 경제적이지는 않아요. 그림에서처럼 정육각형 모양으로 방을 만들 때 보다 두배의 재료가 더 들어가거든요. 그래서 바로 정육각형 모양의 방을 선택하지 않았을까요?

 

자연계에서 정육각형을 서로 이어붙여 평면을 메운 경우를 종종 볼 수 있어요. 곤충의 눈, 잠자리의 날개, 꿀벌의 집, 눈의 결정 모양 등이 그렇답니다. 정육각형일 때 서로 맞닿는 부분의 넓이가 가장 적어 경제적이고 안정적이기 때문이라고 합니다. 비록 꿀벌이 수학적으로 계산해서 집을 지은 것은 아니겠지만, 자연계는 이렇게 수학의 법칙을 따르고 있어요.

 

 

 

보온병은 왜 원기둥인가? 음료수병이나 보온병 등 액체를 담는 용기들은 대부분 원기둥 모양이다. 여기에는 어떤 수학적 이유가 있을까? 용기를 만들 때는 언제나 재료를 적게 들이고도 많은 양의 액체를 담을 수 있어야 한다. 원의 넓이와 일부 정다각형의 넓이 그리고 둘레의 길이를 직접 비교해 보자.      면적이 똑같이 100제곱센티미터인 정사각형의 둘레의 길이는 40cm이고 같은 면적인 정삼각형의 둘레의 길이는 45.6cm이다. 그러나 같은 면적인 원의 둘레의 길이는 약 35.4cm 밖에 안된다. 다시 말하면 넓이가 같은 원, 정사각형, 정사각형 등의 도형에서 원의 둘레의 길이가 가장 짧다.   그러므로 같은 양의 액체를 담을 수 있고 높이가 같은 용기들 가운데서 원기둥 모양의 용기가 그 옆면에 드는 재료가 가장 적다. 자료출처 : 대한교원신문 2004. 1. 10일자

 

 

 

신문지의 두께는?

신문지 한 장이 있습니다.
두께가 0.1mm라고 가정해볼까요?
이 신문지를 50번 접으면 그 높이는 얼마나 될까요?
보통 생각하길, `뭐 두꺼워봤자 백과사전?`,
생각이 좀 있으신 분은 `아파트 높이?` 정도로 생각시겠죠.
신문지를 50번 접으면, 그 두께는 112,589,990km가 된답니다.
말이 안 된다고요?
0.1mm의 신문을 한 번 접으면 0.2mm,
다시 이것을 접으면 0.4mm, 또 접으면 0.8mm, 한 번 더 접으면 1.6mm….
신문지의 두께는 `기하급수적`으로 늘어나게 되는 것입니다.
계산을 해 보면............................
(0.1mm) x 2 x 2 x 2 x … = (0.1mm) x 2^50 = 112589990684262.4mm가
되는 겁니다.
빛은 약 300,000km/s로 직진하죠,
태양의 빛이 지구에 도달하는 시간을 약 8분 20초라고 가정하면,
태양에서 지구까지의 거리는 약 150,000,000km 로 계산됩니다.
112,589,990km짜리 신문지 50번을 접은 것 세 개만 있으면
지구와 태양을 왕복할 수 있군요.

 

원의 각도가 360도인 까닭?

오늘날 원이 360도라는 것은 누구나 알고 있는 사실이다.
그럼 누가 맨 처음 원은 360도라고 정했을까?
지금으로부터 약 4000년 전 지금의 이라크, 시리아, 이스라엘 등의 나라가 자리잡고 있는 땅에 바빌로니아라는 아주 수준이 높은 문명을 이룩한 나라가 있었다.
이 바빌로니아는 옛날부터 수학이 발달하여 수의 진법, 각도, 측량 기술 등에 대한 연구가 활발했다. 이 때, 만들어진 1주일(7일), 시간의 12진법, 60진법 등은 오늘날에도 쓰이고 있는 것들이다.
이 바빌로니아 사람들은 1년을 12달로 보고, 다시 한 달을 30일로 나누어 날짜를 계산하였다. 그리고 그 시간의 오차는 '윤년'이라는 해를 두어, 그 해는 1년을 13개월로 계산하였다. (이 방법은 우리 나라 윤년과 비슷하다.) 
그런데 이 때의 사람들은 특별한 달력이 없었고 1년을 원으로 나타내었다. 그래서 1년을 360일이라 하였다. 그리고 자연히 원의 각도가 360도가 되었다.

 

 

A4용지의 비밀

복사용지를 포함해 가장 많이 사용되고 있는 종이가 바로 A4 용지다. A4 용지의 규격은 297mm×210mm이다. 단순하게 300mm×200mm로 정하면 훨씬 편했을 텐데 왜 이렇게 복잡한 수치가 쓰였을까? 게다가 A4 용지는 우리 눈에 가장 아름답게 보인다는 황금비를 이루지도 않는다. 황금비는 (1 +√5) / 2≒1.618인 반면, A4 용지의 폭에 대한 길이의 비는 약 1.414이다.

종이의 경제학

일상 생활에서 사용되는 종이는 제지소에서 만든 큰 규격의 전지를 절반으로 자르고 또다시 절반으로 자르는 과정을 반복하면서 만들어진다. 그런데 이렇게 절반으로 자르다 보면, 원래의 규격과 다른 모양이 될 수 있다.

예를 들어 300mm×200mm와 같이 폭에 대한 길이의 비가 1.5인 종이를 절반으로 자르면, 200mm×150mm 크기로 만들어지고 이때의 비는 1.333(4/3)이다. 1.333의 비를 가진 직사각형은 1.5의 비를 가진 처음 종이에 비해 뭉툭해 보인다. 이런 종이를 실생활에 필요한 용도로 이용하기 위해서는 일부를 잘라내어 보기 좋은 형태로 만들어야 한다. 그렇게 되면 아까운 종이와 펄프를 낭비하게 된다.

독일공업규격 위원회(Deutsche Industrie Normen)는 큰 종이를 잘라서 작은 종이를 만드는 과정에서 종이의 낭비를 최소로 줄일 수 있는 종이의 형태와 크기를 제안했다. 적절한 규격을 선택했을 때, 타자지의 절반을 그대로 편지지로 사용하고 편지지의 절반을 그대로 메모지로 사용한다면 종이를 많이 절약할 수 있을 것이라고 여겼다. 이렇게 해서 등장한 것이 A4 용지다.

  문제는 닮은꼴

절반으로 자르는 과정에서 만들어지는 종이를 그대로 사용하기 위해서는 어떻게 해야 할까. 우선 전지의 규격이 보기 좋아야 하고, 이를 절반으로 자르고 또다시 절반으로 자른 작은 종이들이 전지의 규격과 같으면 바람직하다. 수학적으로 말하면 서로 닮은꼴이어야 한다는 얘기다.

(전지의 길이) : (폭)을 x : 1이라고 하자. 그러면 이것을 절반으로 자른 (종이의 길이) : (폭)은 1 : x/2 이다. 두 직사각형이 서로 닮은꼴이므로 비례식 x : 1 = 1 :  x/2 가 성립하고, 이로부터 이차 방정식 x²=2 를 얻는다. 그래서 x = √2 이다. 이렇게 전지의 폭에 대한 길이의 비를 √2 로 택하면, 반으로 자르는 과정에서 이 비가 항상 유지된다. 1 : √2 는 황금비는 아니지만 눈으로 보아서 그렇게 큰 차이가 나지 않는다. 이렇게 도형의 닮은꼴, 비례식, 이차 방정식, 무리수 등의 수학적 개념이 실생활에 유용한 종이의 재단에 이용된다.

A4와 B4의 차이

앞에서 A4 용지의 폭에 대한 길이의 비는 약 1.414였다. 눈치챘겠지만, 이 값은 실제로 √2 를 가리킨다. 단지 제조 과정에서 편의를 위해 근사값을 택했을 뿐이다. 그런데 왜 297mm×210mm일까. A4 용지의 전지를 A0 라고 하는데, A0 의 규격은1189mm×841mm이다. 더 복잡한 수치다. 그런데 A0 용지의 넓이를 계산해보면 999949mm ² 임을 알 수 있다. 이는 1000000mm ² , 즉 1m² 의 근사값이다. A0 는 폭에 대한 길이의 비가 이고 넓이는 1m ² 가 되도록 만든 종이이다. 이를 절반으로 자르는 과정에서 A1, A2, A3, A4 등의 ‘에이(A)판’ 용지가 만들어진다.

B4와 B5 용지도 많이 사용된다. 이런 종이도 A판과 같은 원리로 만들어진다. 전지 B0의 폭에 대한 길이의 비는 √2이고 넓이는 1.5m² 가 되도록 규격을 1456mm×1030mm로 정했다. 이를 절반으로 자르는 과정에서 B1, B2, B3, B4, B5 등의 ‘비(B)판’이 만들어진다.

A판과 B판의 모든 용지가 서로 닮은꼴(A0와 B0의 닮음비는√1.5 )이기 때문에, 적절한 비율로 확대하거나 축소해서 다른 용지에 복사할 수 있는 또다른 이점이 있다.

 

 

 

13은 저주의 숫자?

서양에서는 13, 특히 13일과 금요일이 겹치면 불길한 날로 여긴다. 최후의 만찬에 예수와 12제자를 포함한 13명이 참석했고, 예수가 십자가에 못 박힌 것이 금요일이기 때문이라는 설이 가장 잘 알려져 있다.

음악가 바그너는 13을 불길한 수라고 간주하지 않고 오히려 자신을 나타내는 수라고 생각했다. 바그너의 이름 '리하르트 바그너(Richard Wagner)'는 모두 13개의 알파벳으로 이루어져 있다. 그뿐 아니라 그가 태어난 연도는 1813년이어서 각 자리값을 더하면 1+8+1+3=13이 된다. 또 바그너는 1883년 2월 13일 사망했는데, 그가 죽은 날은 13일이고 1883년의 앞뒤 숫자도 13이다.

미국 캘리포니아의 새너제이에 있는 '윈체스터 미스터리 하우스'는 관광 명소 중의 하나다. 사라 윈체스터라는 미망인이 1884년에 착공, 38년 동안 지은 이 저택은 1백60개의 방과 2천개의 문, 침실 13개 등으로 이루어져 있는데, 기괴한 구조뿐 아니라 집의 구석구석에 13을 반영한 것으로도 유명하다. 침실이 13개 있는데 그중에서 13번째 침실에는 13개의 창문이 있으며, 창문은 13조각의 유리로, 온실은 13개의 둥근 지붕으로, 나무 마루는 13개의 부분으로 이루어져 있는 등 13이라는 수를 여기 저기서 찾아볼 수 있다. 집 주인은 밤마다 찾아오는 악령들을 교란시키기 위해 같은 방에서 자는 법이 없었다고 한다.

이상의 작품 중 가장 잘 알려진 '오감도'의 첫 번째 시 '13인의 아해가 도로로 질주하오'는 제1의 아해부터 제13의 아해까지가 반복되는 구조로 되어 있다. 이 시가 억압된 일제 치하에서의 실존적 불안을 나타낸다고 볼 때, 서양에서 터부시하는 수 13을 의도적으로 동원했으리라는 해석이 유력하다. 또 당시 우리나라의 도(道)가 13개였기 때문에 13인의 아해가 식민지 조국을 상징한다는 견해도 있다.

내일은 영화의 제목이기도 한 '13일의 금요일'. 서양의 미신적인 관습까지 따를 필요는 없겠지만, 13일의 금요일이라고 하루쯤은 긴장해 보는 것도 일상의 지루함을 덜어내는 한 방안이 될 것 같다.

박경미 홍익대 수학교육과 교수<!--"

 

어떤 수박을 사야할까?

매일 사용하는 세수 비누나 두루마리 화장지는 처음에는 아무리 써도 줄어들 것 같지 않다. 그러다가 뭉치가 작아지기 시작하면 금방 닳아 없어지고 만다. 이럴 때, 그 이유를 곰곰이 생각해 스스로 해답을 찾게 되면, 그야말로 그 순간부터 갑자기 수학의 재미를 느끼기 시작할 것이다.
  이 두 가지 경우는 똑같은 원리에 의해 일어난다. 즉, 닮음비와 넓이의 비, 부피의 비의 관계가 그것이다. 비누의 가로x세로x높이의 길이가 각각 처음의 1/2로 줄어들면 그 비누의 부피는 1/8로줄고, 두루마리의 반지름이 1/2일 때 그 두루마리 화장지의 길이는 1/4이다.

  과일 가게에서 과일을 고를 때에도 닮음비를 알고 있으면 이득을 본다. 할인점 식품매장에 가면 수박을 반으로 잘라서 파는 모습을 종종 볼 수 있는데 이에는 닮음비를 이용한 교묘한 상술이 숨어있다. 5,000원을 가지고 수박을 사려는데 지름이 20cm인 수박이 1,000원이고 지름이 40cm인 수박이 5,000원이라면 어떤 걸 골라야 할까? 얼핏 생각하기에 20cm인 수박 다섯 개를 사는게 훨씬 이익일 것 같지만 따져보면 그렇지가 않다. 닮음비가 1:2이면 부피의 비는 1 대 2의 3제곱 즉, 1:8이다. 따라서 지름이 40cm인 수박과 같은 부피가 되려면 지름 20cm인 수박 8개가 있어야 한다.

 

 

빵 3개를 4명에게 나눠주는 비결?

바야흐로 디지털 시대다. 디지털 시대에 더 적합한 것은 '분수'보다는 '소수'라고 할 수 있다. 바로 읽기만 하면 된다. 그런데 아날로그 시계는 시침이나 분침 위치에 따라 시간을 따져봐야 한다. 이 때 필요한 것이 분수적 사고다.

수학사(史)에서도 분수는 소수보다 일찍 등장했다. 고대 이집트 때부터 이미 분수를 광범위하게 사용했는데 주목할 만한 것은 분수를 분자가 1인 단위분수의 합으로 나타냈다는 점이다.

인류 최초의 수학책인 '아메스의 파피루스'에는 '2/5 = 1/3 +1/15'이나 '2/7 = 1/4+ 1/28'과 같이 분수를 단위분수의 합으로 나타낸 기록을 찾아볼 수 있다.

왜 이런 시도를 했을까? 분배를 염두에 두었기 때문이 아닐까 추측할 수 있다. 예를 들어 3개의 빵을 4명이 똑같이 나눠야 하는 상황인 3/4을 생각해보자. 처음부터 3개를 4조각으로 나누려면 힘이 든다. 그런데 일단 빵 2개를 절반으로 쪼개 4명이 각각 한조각씩 나눠 갖고, 나머지 빵 한개는 4등분해 한조각씩 가지면 훨씬 쉽다. '3/4 = 1/2(2/4) + 1/4'이기 때문이다. 단위분수의 합을 이용하면 균등한 분배 상황을 간편하게 표현할 수 있다.

 

잘 알려진 이야기 하나. 옛날 아라비아의 어떤 상인이 자기 재산인 낙타 17마리를 큰아들은 1/2, 둘째 아들은 1/3, 셋째 아들은 1/9을 가지라고 유언하고 죽었다. 문제는 17이 2, 3, 9로 나누어 떨어지지 않아 1/2, 1/3, 1/9을 정수로 구할 수 없었다는 것. 삼형제가 낙타를 놓고 싸움을 계속할 때 지나가던 노파가 자기가 타고 있던 낙타 한마리를 보태줬다. 낙타가 18마리가 되자 삼형제는 1/2인 9마리, 1/3인 6마리, 1/9인 2마리를 각각 가질 수 있었다. 게다가 9마리, 6마리, 2마리의 합은 17마리이므로 노파도 희사했던 자기 낙타를 다시 돌려받았다. 모든 사람이 윈-윈하게 된 비결은 '1/2 + 1/3 + 1/9'이 1이 아니라 17/18이기 때문이다.


자료출처 : 박경미(홍익대 수학교육과 교수) 2003년 08월 28일 중앙일보(라이프)

 

 

사다리 타기의 수학

사다리 타기가 출발점에서 도착점으로 가는 함수인 것은 분명합니다.
핵심은, 다른 곳에서 출발하면 항상 다른 곳에 도착한다는 것입니다.
즉 injection (일대일함수) 이라는 것만 보이면 정의역과 공역이 유한집합이고
원소 개수가 같기 때문에 bijection 이 될 수밖에 없습니다.

그런데 사다리는 도착점에서 시작하여 거슬러 올라갈 수도 있습니다.
즉 역함수가 존재합니다. 따라서 bijection (일대일 대응) 입니다.
만족하지 못하셨습니까?

좀 더 구체적으로 생각해 보겠습니다.

만약 서로 다른 두 곳에서 출발하여 같은 곳에 도착했다고 합시다.
그러면 그곳에서 사다리를 거슬러 올라가면 어느 곳에선가
두 갈래로 갈라진다는 이야기인데 사다리의 규칙상
항상 한가지 방법으로 갈 수밖에 없기 때문에 그것은 있을 수 없는 일입니다.
따라서 injection, 따라서 bijection 입니다.

두 집합{사다리 참가자들} {내야할 금액} 사이의 1대1 대응관계를 유념하면서 생각해 보세요.
우선 사다리의 수평선을 잘 배열하면 항상 수평선이 각 높이에서 하나씩만 있게 할 수 있습니다

 

 

고스톱 칠 때 패 돌리는 방법

작년 가을에 고스톱을 치다가 '고스톱은 꼭 세 명 씩만 쳐야하나? 자기는 광 팔기 싫으니 꼭 끼워 달라고 했을 때 네 명이 칠 수는 없는 것일까?' 등의 생각에 패 돌리는 방법에 숨어 있는 수학에 대해 살펴 보았다. 그랬더니 의외로 간단해서 좀 똑똑한 중1 학생의 약수와 배수 단원의 심화학습이나 고1 보통학생의 관심 끌기 내용으로 이용하면 어떨까 해서 적어 본다.

먼저 일반적으로 세 명이 치는 경우이다.

한 사람에게 주는 화투장 수를 a라 하고 바닥에 까는 장 수를 b라 했을 때, 가능한 a, b의 쌍이 우리가 구하는 해가 된다. 해의 조건은 바닥에 엎어 놓는 화투장의 수에서 얻을 수 있다.

우선 화투장의 총 수는 48(=4×12)이므로 바닥에 엎어 놓는 화투장의 수는 48-(3a+b)로 나타낼 수 있다. 그런데 이것은 세 사람에게 처음에 나누어준 화투장의 총 수 3a와 완전히 같아야 한다.(왜? 나가리가 되지 않기 위해서) 즉 48-(3a+b)= 3a……(*)에서b=48-6a=6(8-a), 오호 a는 8보다 작은 자연수이고 이 때 b는 6의 배수이다.

따라서 가능한 첫 번째 해는 a가 7일 때 b는 6, 일반적으로 패를 돌리는 경우이다.

역동적인 화투를 치고 싶다면 a=6, b=12인 방법으로 패를 돌리면 되겠다. 먹을 게 없어서 고민할 확률이 줄어 들겠지. 물론 선의 동의가 필요하겠지만. 이론적으로는 (a=5, b=18), … 등이 가능하겠지만 실전으로 삼기에는 무리겠다.(경험칙은 가치있는 지식이다!)

두 명이 맞고를 치려고 한다면 식 (*)을 변형하면 되겠다. 즉 48-(2a+b)=2a에서 b=4(12-a)를 만족하는 (a, b)를 구하면 된다. (11,4), (10, 8), (9, 12) … 등이다. 일반적으로 치는 방법은 두 번째 해인데 변화를 추구한다면 방법은 많은 셈이다.

'광 팔기'는 세 명이 치는 것이 가장 재미있게 칠 수 있다는 전제하에 같이 치지 못하는 사람들에 대한 심리적, 금전적 보상의 성격이 짙다. 만약 광 팔기 없이 다 같이 치려면 어떻게 패를 나누어야 할까?(아이들에게 연습문제로 내 보자.) 네 명이 치는 경우라면 바닥에 8장 깔고 한 사람 당 5장 씩 잡으면 큰 무리는 아닌 것 같다. 다섯 명이 함께 치려면 바닥에 8 장 깔고 손에 4장 씩... 아무래도 3점 내기 힘들겠다.

하여튼 다음에 여럿이 모여 고스톱을 칠 때 칠 만 한지 한 번 시도해 보자. 광 파는 친구가 심심하다고 느낄 때.

 

 

 

 

 

큼ㅡ,.ㅡ 어떤 블로그에서 퍼왔습니다.. 그래도 답변확정해주세요