파이 구하는 공식

는 유클리드 기하학을 연구하는 과정에서 새로 발견한 원주율을 구하는 공식을 정리로 만든 것입니다. 필자는 원주율을 계산하는 공식을 1994년 11월 27일에 처음 발견하였고, 2001년과 2004년에 세상에 공식적으로 출간한 2권의 필자의 저서에도 실려 있는 내용이나, 아직도 수학자나 일반인들에게는 전혀 생소하여 널리 알려야 할 새로 발견한 공식이므로, 알리기에 적합한 인터넷 공간인 오픈사전에 올립니다.

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1.새로 발견한 원주율의 정리란 ?

 

아래에서 보는 정리가 새로 발견한 이다. 원주율을 계산하는 새로운 공식을 도출하기 위한 증명 과정을 이곳의 한정된 공간에 기록하는 것은 문자 표현상의 제약이 많으므로 생략한다.

 

위에 제시한 원주율을 계산하는 공식은 『정(6 x 2^k)각형』에서 k 값이 커질수록 즉 정다각형의 변의 갯수가 커질수록 원주율의 참값에 가까워지게 된다.(단, 여기서 k 는 0 그리고 1, 2, 3, ... 100, ... 과 같은 자연수이다.)  위의 원주율을 계산하는 새로 발견한 식은 모두  2 와  3  이라는 숫자와 복제근호만으로 구성된 식이라는 점에서 과거에 여러 수학자들이 제시한 식들과는 명확히 구별되는 독특한 원주율 계산공식이다. 이 새로 발견한 원주율 공식의 큰 특징 중의 하나는 가장 마지막항이  √3 으로 끝나는 복제곱근호로 표현된다는 것이다. 필자가 새로 발견한 는 다음과 같은 의미를 가지고 있다. 즉,

 

----------- (새로 발견한 원주율의 정리의 의미) ----------

 

 원에 내접하는 『정(6 x 2^k)각형』에서 k값이 한없이 커지면
『정(6 x 2^k)각형』의 둘레를 원의 지름으로 나눈 비는 결국
 원주율의 참값 π에 수렴한다.(단, 원의 반지름은 r이라고 한다)

 

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위에서 언급한 원주율의 정리의 의미를 토대로,

를 서술적인 명제로 표현하면

 

  둘레를 원의 지름으로 나눈 비는 원주율의 참값 π 에 수렴한다.>

 

라고 바꿀 수 있습니다.

 

2. 원주율의 개요

 

원주율(π, circle ratio)은 원의 둘레를 지름으로 나눈 값을 말하며, 고대 그리스의 수학자 아르키메데스(Archimedes, B. C. 287 ? ~ 212 ?)가 원에 내외접하는 정96각형에서 원주율을 계산한 결과, 원주율(π)의 근사치가 3 과 10/71 보다는 크고 3과 1/7 보다는 작다는 사실을 알아냈다. 아르키메데스는 약 2200년 전에 원주율의 근사치가 3.14 라고 소수점 2자리까지 정확히 계산했다. 이 원주율 3.14 라는 값은 오늘날에도 실용적으로 쓰이고 있는 값이다.

 

우리가 보통 원주율을 π 라고 표기하는 것은 그리스어로 둘레를 뜻하는 'περιμετροζ'의 첫 글자에서 따왔기 때문이라고 한다. 이 π 라는 기호는 1647년 영국의 수학자 오트레드(Oughtred, 1574 ~ 1660)에 의해서 최초로 사용됐고, 1705년에 영국작가 존스에 의해 π 가 소개됐으며, 1737년부터 스위스의 저명한 수학자 겸 물리학자인 오일러(Leonhard Euler,  1707 ~ 1783)가 자신의 저서에서 쓰기 시작한 이후부터 다른 학자들도 본격적으로 원주율을 나타내는 기호를 π 로 쓰기 시작했다고 한다.

 

역사상으로 원주율의 근사치를 최초로 계산하려고 했던 시기는 고대 이집트 시대인 기원전 4000년 전까지 거슬러 올라간다. 이 당시에 이집트의 신관이었던 아메스(Ahmes)에 의해 쓰여진 두루마리로 된 파피루스(Papyrus) 문서에는 원주율의 근사치를 3.15048 라고 계산했다는 것을 알 수 있는 근거가 기록돼 있다. 그리고 고대 바빌로니아에서는 원주율의 근사치를 3.125 라고 사용한 흔적이 있다. 한편 동양에서는 3세기경 위나라의 유휘(劉徽)가 정3072각형을 이용하여 원주율의 근사치가 3.14 라는 것을 알아냈다고 하며, 이 값은 아르키메데스가 계산한 3.14 와 일치하는 값이다. 이후에 성경에서는 원주율의 근사치를 3 이라고 본 기록들도 있다.

 

원주율은 원둘레를 지름으로 나눈 값으로 정의하고 있으므로 쉽게 보이기는 하지만 막상 원주율 π를 정확히 계산하는 것은 일반인들에게는 쉬운 일이 아니다. 그리고 원주율의 값은 무한히 이어지는 그 끝을 모르는 값이기 때문에 불가사의한 숫자이다. 원주율을 정확히 계산하기 위한 연구를 본격적으로 시작한 시기는 프랑스 수학자 비에트(Viete, 1540 ~ 1603) 이후부터라고 볼 수 있는데, 그는 정393216각형을 이용하여 소수점 이하 9자리까지 정확한  값인 π = 3.141592653 이라는 값을 계산해 냈다.

 

비에트 이후로는 정다각형을 활용하여 원주율을 계산하던 시대를 마감하고, 대부분 스코틀랜드 수학자 그레고리(J. Gregory, 1638 ~ 1675)가 발견한 아크탄젠트(arctan) 급수를 활용하는 새로운 원주율 계산식들이 고안됐다. 원주율 계산식을 고안한 수학자들 중에서 뉴턴(Newton, 1642 ~ 1727)은 특이하게도 아크사인(arcsin) 급수로 원주율을 계산했으며, 이외에  라이프니츠(Leibnitz, 1646 ~ 1716), 매킨(Machin, 1680 ~ 1751), 오일러(Euler, 1707 ~ 1783), 가우스(Gauss, 1777 ~ 1855)와 같은 수학자들은 아크탄젠트(arctan) 급수를 이용하여 원주율을 계산하는 공식을 만들었다.

 

오늘날에는 수렴이 빠른 원주율 계산식을 컴퓨터에 입력하여 정밀한 값을 계산해 낸다. 최근에 발표한 가장 정밀한 원주율의 근사치는 2002년 12월 일본의 가네다(金田康正) 연구진이 컴퓨터로 400시간이 걸려 계산한 소수점 이하 1조 2411억자리이다.

 

여기서, 고대 이집트 시대 이래로 여러 수학자들이 연구한 원주율 π를 계산하는 방법들을 분류해 보면 다음과 같이 크게 4가지로 나눌 수 있다. 즉,

 

(1) 정다각형법 : 고대 그리스에서 개척
(2) 복제곱근법 : 프랑스 수학자 비에트가 최초로 개척
(3) 무한급수법 : 17세기 그레고리가 개척
(4) 기타 방법  : 연분수 이용(브룬커), 바늘 문제(뷰퐁)

 

등이다. 위에서 언급한 복제곱근법이라는 뜻은 '원주율 계산 공식의 모양이 여러 개의 제곱근호가 겹쳐져 있는 형태'로 표현되기 때문에 필자가 명명한 이름이며, 그 대표적인 것이 제곱근의 무한곱으로 표현되는 비에트의 원주율 계산 공식이다.

 

3. 원주율을 계산하는 새로운 방법 

 

여하튼 필자는 고대 그리스의 3대작도 불가능문제 중의 하나인 임의각의 3등분 문제를 연구하는 과정에서 유클리드 도구로 각을 3등분할 수 있는 를 발견하여 이 정리를 증명했다. 그런데 이 정리(定理, theorem)에 의해 3등분할 수 있는 특정각들을 찾는 과정에서 혹시 유클리드 도구를 가지고 특정각인 22.5° 를 3등분한 7.5° 에서 원주율을 구할 수 있는 방법이 있을지도 모른다고 생각하여, 여러 가지 연상(聯想)을 하며 새로운 원주율 계산법을 찾아낼 궁리를 하였다.

 

그래서 22.5° 를 3등분한 7.5° 에 대해 고찰한 결과, 7.5° 를 원의 중심각으로 잡으면 정48각형이 작도된다는 점에 착안하였다. 여기서 정48각형의 48이라는 숫자에 대해 잠시 살펴보면
다음과 같은 숫자의 곱으로 표현할 수 있다. 즉,

 

48 = 6 x 8  -------------------------(ㄱ)

48 = 3 x 2^4 ----------------------- (ㄴ)
48 = 6 x 2^3 ----------------------- (ㄷ)

 

와 같이 표현된다. 필자는 위에서 특히 (ㄷ) 식인 48 = 6 x 2^3 에 주목하였다.

 

그 결과, 6 x 2^3 에서 좋은 착상을 얻어 (6 x 2^k)과 같은 일반적인 표현으로 바꾼 후에 원에 내접하는 『정(6 x 2^k)각형』의 꼴에서 원주율 π를 규칙적으로 계산하는 새로운 공식을 발견하고 이 공식에 의해 원주율을 계산하는 정리를 『원주율(π)의 정리』라고 명명했다. 원에 내접하는 『정(6 x 2^k)각형』의 꼴을 활용하면 위에서 보는 것과 같은 원주율(π)의 값을 계산하는 일반적인 공식을 얻을 수 있다. 여기서 k = 0 일 경우에는 정6각형이 된다. 정6각형일 때 새로 발견한 원주율 계산 공식을 적용하면 3 이라는 숫자가 나온다.

 

오늘날 원주율의 계산은 과거 고대 그리스 시대에 시작한 정다각형을 이용하는 방식에서 탈피하여 무한급수를 이용하여 구한 식을 사용하고 있으나, 필자가 발견한 공식은 정다각형을 이용하는 방법이다. 정다각형 중에서도 특히 『정(6 x 2^k)각형』인 꼴을 활용하여 원주율을 구하는 새로운 방법으로서, 이 방법은 지금까지 구했던 원주율 계산 공식들과는 그 형태 면에서 색다르기 때문에, 필자는 이 방법을 정리(定理, theorem)로 만들어 라고 하였다.

 

지금까지 세계 수학계에서 원주율을 구하는 공식을 명제로 만들어 라고 이름을 붙인 예가 없으며, 이러한 명칭을 붙인 이유는 필자가 새로 발견한 원주율 계산 공식이 독특하고 그 증명 방법을 누구나 이해하기 쉽기 때문이다.(여기서 그 증명 방법은 생략한다.) 원주율은 이미 잘 알고 있는 바와 같이 그 소수점 이하의 자리 숫자가 끝없이 이어지기 때문에 보통 원주율을 계산하는 식들은 모두 예외 없이 근사치를 구하는 식이며, 필자가 제시한 식도 역시 마찬가지이지만 어떤 다른 식들보다도 수렴이 빠른 공식이라는 점이 가장 큰 특징이라고 말할 수 있다.

 

4. 새로운 공식에 의한 원주율 계산 결과(컴퓨터에 의한 3가지 계산 예)

 

참고로 여기서 위의 에서 제시한 원주율을 계산하는 공식에 의거하여 『정(6 x 2^k)각형』의 꼴에 k = 14 인 『정(6 x 2^14)각형』 즉 정98304각형에서 원주율의 근사치를 컴퓨터로 구해보면 3.14159265307521445 인 값이 얻어지며, 이 값은 소수점 이하 9자리까지 일치하는 값이다. 이 값을 컴퓨터로 구하는 식으로 나타내는 간단한 예를 보면 다음과 같다. 즉,

 

π = 49152 x(2-(2+(2+(2+(2+(2+(2+(2+(2+(2+(2+(2+(2+(2+3^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)

   = 3.14159265307521445(소수점 이하 9자리까지 일치하는 근사치)

 

가 된다.

 

또한 정(6 x 2^k)각형』의 꼴에 k = 7 인 『정(6 x 2^7)각형』 즉 정768각형에서 원주율의 근사치를 컴퓨터로 구해보면 

 

π = 384 x(2-(2+(2+(2+(2+(2+(2+3^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)
   = 3.14158389214832059 (소수점 이하 4자리까지 일치)

 

가 얻어진다.

 

한편 정(6 x 2^k)각형』의 꼴에 k = 11 인 『정(6 x 2^11)각형』 즉 정12288각형에서 원주율의 근사치를 컴퓨터로 구해보면 

 

π = 6144x(2-(2+(2+(2+(2+(2+(2+(2+(2+(2+(2+3^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)^0.5)
   = 3.14159261936577215(소수점 이하 7자리까지 일치)

 

가 얻어진다.

 

이와 같이 특수한 꼴인 원에 내접하는『정(6 x 2^k)각형』에서 k 값이 커질수록 즉 정다각형의 변의 갯수가 커질수록 원주율의 참값에 가까워지게 된다.(단, 여기서 k 는 0 과 1, 2, 3, ... 100, ... 과 같은 자연수이다.)

 

원주율을 계산하는 공식들은 16세기 이후로 수학자들이 급속히 연구하기 시작하여 많은 공식들이 발견됐는데, 이러한 식들 중에서 원주율 참값에 수렴하는 정도가 빠른 식들은 보통 컴퓨터의 성능을 검사하는 식으로도 활용된다.

 

필자가 독창적으로 연구해 발견한 원주율을 계산하는 공식도 새로 만든 컴퓨터나 새로 도입한 컴퓨터의 성능이 제대로 나오는지 평가하는 데 이용될 수 있는 수렴이 빠른 식이므로, 여기에 필자가 발견한 원주율을 계산하는 식을 소개하는 것도 그 의의(意義)가 있다고 본다. 또한 지금까지 한국 수학자에 의해 공식적으로 세계 수학계에 원주율 계산식을 제시한 실례가 널리 알려진 적이 없었으므로, 위의 에서 본 세계 수학계에 처음으로 필자가 제시한 식은 『정(6 x 2^k)각형』을 이용하여 원주율을 정밀하게 계산할 수 있는 새로운 식이라는 점에서 역시 그 의의가 있다고 본다.

 

* 원주율 : circle ratio
* 정다각형 : regular polygon
* 원주율의 정리 : Theorem of circle ratio

 

(참고자료1) 원주율 1000자리의 숫자

 

아래는 원주율을 컴퓨터로 소수점 이하 1000자리까지 계산한 값입니다.

π = 3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912

9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872
1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960
5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881
7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778
1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

 

(참고자료2) : 원주율 암산왕 관련 기사

 

2005년 7월 3일에 보도된 뉴스에 따르면 일본인 하라구치 아키라(59세)는 지난 1일 일본 지바시(千葉市)의 한 강당에서 원주율을 외우기 시작해 11시간 만인 2일 새벽 소수점 이하 8만3431자리까지 암송해 종전 자신의 최고기록인 소수점 이하 5만4000자리를 돌파하는 세계 신기록을 세웠다고 한다.

 

2005년 7월 3일 현재 기네스북에는 역시 일본인 고토 히로유키가 지난 1995년 암송한 4만2천195자리가 최고로 기록돼 있다고 한다. 원주율을 외운다는 행위 그 자체는 머리가 좋다는 것을 지칭하는 것은 아니며, 수학적으로는 큰 의미가 없고 단지 한 개인이 가지고 있는 기억력의 수준이 어느 정도인가를 확인하는 행위에 불과하다.

 

특히 최근에는 원주율을 DNA 이중 나선, 무지개, 파동, 항로 등 모든 종류의 과학적 등식을 밝혀내는 데 응용하고 있다고 한다.

 

(참고자료3) : '원주율 π의 정체는?' 중의 일부 내용 인용 자료

                

"성경의 기록을 보면, 구약성서 ‘열왕기상 7장 23절’과 ‘역대하’에 “바다를 부어 만들었으니 지름이 십 큐빗(길이의 단위)이요, 그 모양이 둥글고 그 고는 다섯 큐빗이며 주위는 삼십 큐빗 줄을 두를 만하며...”

(And he made a molten sea, ten cubits from the one brim to the other: it was round all about, and the height was five cubits: and a line of thirty cubits did compass it about.)

라고 나와 있는데, 주위를 지름으로 나누면 3이 되므로 기원전 10세기 무렵인 솔로몬 왕 치하에 사용한 원주율 값은 3 정도라는 것을 알 수 있다."

"이보다 앞선 기원전 약 1700년 전에 기록되었을 것으로 추측되는 고대 이집트의 책 '린드 파피루스'에는 "원의 넓이를 구하려면, 지름의 9분의 1을 뺀 후 그것을 제곱한다."라고 되어 있는데, 이 방식을 따라서 계산하면 원주율이 약 3.16049... 가 되는 셈이다. 피라미드를 건설했던 고대 이집트 사람들은 실용적인 기하학 지식이 매우 뛰어났음을 짐작할 수 있다."

 

* 위의 (참고자료3)의 출처 : KISTI의 과학의 향기(최성우-한국과학기술인연합 운영위원의 글 중에서)

 

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논점1. 원주율 계산 신공식 발견 시점과 독창적 연구에 대한 견해

 

이 논점은 일반인(campol)이 2005년 10월 20일 11시 21분에 라고 의견을 내었기에 논점으로 추가하여 남기는 글이며, 위의 의견에 대한 필자의 견해를 아래와 같이 첨언합니다.

 

필자가 상술한 새로 발견한 원주율의 정리에 대해 언급한 내용과 관련하여, 원주율 계산 공식을 처음으로 발견한 시점은 지금부터 11년전인 1994년 11월 27일입니다. 필자가 새로 발견한 원주율 계산공식이 문헌에 최초로 기록된 근거는 필자가 기록으로 남기기 위해 쓴 책인 "특수각과 원호의 3등분에 관한 연구"라는 저서(1995년 5월 22일 발행. 비매품)의 197쪽 ~ 201쪽에 수록돼 있습니다. 그리고 그 후속으로 출간한 "2425년간의 침묵과 고독"이라는 저서(2001년 4월 11일 출간)의 321쪽 ~ 352쪽에도 실려 있습니다. 또한 "각의 3등분의 정리"라는 저서(2004년 2월 25일 출간)의 578쪽에도 수록돼 있습니다.

 

그런데, 의견을 주신 campol님이 필자가 새로 발견한 원주율의 공식이 "1941년 Richard Courant에 의해 발간되어, 현재 경문사에 "수학이란 무엇인가"라는 제목으로 번역되어진 책 157 - 158 쪽에 같은 내용이 소개되어 있습니다." 라고 지적하여 확인해 보았는데, 틀림없이 쓰여 있지만 착상 방법과 적용한 정다각형 선택 동기 그리고 공식의 숫자가 서로 명확하게  다르군요.

 

필자가 정6각형을 선택한 이유는 명확하나 쿠랑은 정4각형을 선택한 이유에 대한 구체적인 설명은 없고 단순히 과거의 다른 수학자들이 했던 것을 답습하여 정4각형을 택하였다는 것도 큰 차이점입니다. 그렇지만 유감스럽게도 쿠랑(Richard Courant)이 쓴 책의 번역판("수학이란 무엇인가", 2002년 5월 10일 초판 1쇄, 경문사)을 전혀  못 본 상태에서 2001년 이전에 2번씩이나 출간한 저서에 필자가 새로 발견한 원주율의 공식을 수록히여 출판한 적이 있습니다.

 

상술한 대로 필자가 독창적으로 원주율의 공식을 새로 발견한 시점은 1994년 11월이고, 쿠랑(Richard Courant)에 의해 1941년에 발간된 책이 한국에서 처음으로 출판된 시점이 2002년 5월이므로, 1995년에 출간한 필자의 저서와 국내 출판사에서 2002년에 출간한 저서와는 그 시차가 약 7년이나 되고 필자가 먼저 책을 출판했습니다. 그러므로 필자가 새로 발견한 원주율 계산 공식이 국내 번역판의 내용을 참고로 하여 착상하거나 도용한 것이 아니고 우연히 형태면에서 유사한 결과가 얻어졌다는 점을 명확하게 밝힙니다.

 

그런데 정다각형을 이용하여 극한개념으로 원주율을 계산하는 방법을 답변확정하면 누가 계산하더라도 원주율 계산 공식을 도출한 결과를 보면, 필연적으로 그 모양이 유사한 것처럼 보이는 공식이 유도될 수 밖에 없습니다. 원주율 계산 공식의 재발견 여부에 관한 문제는 계산식의 도출 과정이 독자적인 방법인가 또는 독창적인 사고인가 여부 및 새로 발견한 원주율 공식이 완전히 동일하게 일치하는가의 여부로 판단돼야 합니다. 또 한가지는 어떤 정다각형을 택했는가도 독창성을 구분하는 절대적인 요소의 하나입니다. 그리고 원주율 계산 공식의 숫자가 어떻게 구성되어 있는가의 여부도 독창성을 구분하는 큰 지표 중의 하나입니다.

 

한편 2005년 10월 20일까지 campol님이 지적하기 이전에는 쿠랑이 쓴 "수학이란 무엇인가"라는 책의 존재를 2002년 말경 서점에 가서 알았기는 하였으나, 그 책 속에 필자가 발견한 공식과 유사한 공식이 수록된 사실은 미쳐 읽지 못하여 2004년에 출간한 필자의 저서(각의 3등분의 정리)에도 그 내용을 인용하지 못했군요. 그 까닭은 2004년에 출간한 바 있는 필자 저서의 원고를 쓸 때, 2002년 5월 1일부터 쓰기 시작하여 꼭 필요한 자료를 조사해야 하는 것 이외에는 두문불출하며 약 1년 6개월간 원고를 집필하는데 몰두하였기 때문에 쿠랑의 국내 번역판(2002년 5월 출간)을 자세히 보지 못하고 간과했군요. 그리고 필자가 과문(寡聞)한 탓으로 이미 60여년 전에 쓴 쿠랑의 원저를 미리 입수하여 읽어보지 못한 점은 있으나, 위의 본문에서 이미 서술한 대로 원주율 계산 공식의 발견 당시의 착상과 그 도출 방법상의 기본적인 착상 과정이 매우 다릅니다.

 

참고로 부언하면 필자는 2001년 이전까지는 새로 발견한 원주율 계산 공식을 단순하게 새로 발견한 원주율 공식이라고만 언급하였었는데, 2004년에 출간된 저서에서는 새로 발견한 원주율을 도출하는 공식을 명제로 만들어야 한다는 필요성을 느끼고, 2003년에 원주율을 도출하는 명제에 새롭게 이름을 붙여 라고 명명했습니다. 아무튼 필자가 새로 발견한 원주율 공식은 이미 출간된 그 어떤 서적이라도 보고 착상을 얻은 것이거나 타인의 생각을 도용한 공식은 아니며, 각의 3등분 문제를 연구하는 과정에서 부수적으로 새롭게 발견한 신지식이라는 점을 다시 한번 분명히 기록해 둡니다.(실물 서적으로 그 근거를 제시할 수 있습니다.)

 

* 이상은 필자가 새로 발견한 원주율 계산 공식에 대한 저작권이나 새로운 공식의 발견 시비 그리고  독창성 여부와 관련하여 독자들에게 오해를 불러 일으킬 소지가 있기 때문에 를 발견하게 된 시점과 그 경과를 관련 근거 서적과 함께 언급하여 비교적 자세히 기술했음을 알립니다.

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논점2. 필자의 원주율 계산 공식과 쿠랑(Courant)의 식과의 차이점

 

◐ 필자의 원주율 계산 공식 발견에 이르는 착상 및 도출 과정

 

(1)  임의각의 3등분 연구 개시(1965년)
(2)  및 발견(1967년 10월 10일, 12월 7일)
(3)  를 적용한 임의각의 3등분 작도법을 종합하여 기록(1994년)

(4)  를 집대성한 "특수각과 원호의 3등분에 관한 연구"  저술(1994년)
(5)  22.5°를 3등분한 7.5°에서 원주율 계산식 도출 가능성 착상(1994년 10월)
(6)  7.5°가 원에 내접하는 정48각형의 한변의 중심각임을 착안(1994년 10월)
(7)  정48각형의 48이라는 숫자를 6*8, 3*2^4, 6*2^3 등의 곱으로 분석(1994년 10월)
(8)  원에 내접하는 정(6*2^3)각형에서 원주율을 계산해 보기로 결정(1994년 10월)
(9)  정(6*2^3)각형을 정(6*2^k)각형인 정다각형으로 일반화(1994년 10월)
(10) 원에 내접하는 정(6*2^k)각형에서 k = 0, 1, 2, 3, ... k 일 때, 즉

       정(6*2^0)각형에서 시작하여 정6각형, 정12각형, 정24각형, ... 정(6*2^k)각형의

       한변의 길이 및 둘레 계산(1994년 10월)
(11) 정(6*2^0)각형 ~ 정(6*2^k)각형 등에서 원주율 근사 계산식 도출(1994년 11월 23일)
(12) 정(6*2^k)각형에서 구한 원주율 근사 계산식에 극한 개념(k→∞) 적용(1994년 11월 27일)
(13) 정(6*2^k)각형에 의한 새로 발견한 원주율 계산 공식 확정(1994년 11월 30일)
(14) 정(6*2^k)각형에 의한 원주율 계산 공식을 필자의 저서에 수록(1995년 5월 22일)
(15) 정(6*2^k)각형에 의한 원주율 계산 공식을 필자의 저서에 재수록(2001년 4월 11일)
(16) 수학 연구서를 집필할 때 정(6*2^k)각형에서의 원주율 계산 공식을 명제화하여

       표현(2003년 10월 13일)
(17) 정(6*2^k)각형에서의 원주율을 계산하는 공식을 라고 명명해
      필자의 저서인 '각의 3등분의 정리'에 수록하여 발표(2004년 2월 25일)

 

위에서 설명한 를 도출하게 된 착상 경위를 요약하면,
 
임의각 3등분 연구(1965) ━▶ 각의 3등분의 정리 발견(1967) ━▶ 22.5°를 3등분한 7.5° 를 작도(1994) ━▶ 7.5°에서 원주율 계산 공식 도출 가능성 착안(1994) ━▶ 7.5°가 원에 내접하는 정48각형의 중심각임을 착안(1994) ━▶ 정48각형을 정(6*2^3)으로 표현(1994) ━▶ 정(6*2^3)각형을 정(6*2^k)각형으로 일반화(1994) ━▶ 원에 내접하는 정(6*2^k)각형에서 한변의 길이와 둘레 계산(1994) ━▶ 원주율 계산 근사식 도출(1994) ━▶ 극한 개념(k→∞) 도입(1994) ━▶ 저서에 원주율 계산식 1차 발표(1995, 비매품) ━▶ 저서에 원주율 계산식 2차 발표(2001) ━▶ 원주율의 정리라고 명명(2003) ━▶ 저서에 원주율 계산 공식 3차 발표(2004)

 

등과 같은 착상과 도출 과정을 거쳐 원주율 계산 공식을 유도하였으며, 새로 발견한 원주율 계산 공식은 2 와 3 이라는 숫자의 복제근호로 구성된 원주율 계산 공식임을 알 수 있다.

 

◆ 쿠랑(Richard Courant)이 1941년에 제시한 원주율 계산 공식의 전개 과정

 

(1) 종래 원주율을 계산하여 왔던 정다각형들인 정3각형, 정5각형, 정6각형 등

     정n각형에 대해 설명

(2) 정n각형을 2n으로 바꾸어 원에 내접하는 정2n각형에 대해 착안
(3) 원에 내접하는 정2n각형의 한변의 길이를 계산하여 규칙성 검토
(4) 정2^n각형에서 n = 2 일 경우부터 각각 정4각형, 정8각형, 정16각형, 정32각형 및
     정2^n각형의 한변의 길이 및 총 둘레 계산
(5) 정2^n각형의 둘레를 가지고 원주율을 계산하는 근사 공식 도출
(6) 정2^n각형에서 n이 m 일 때의 원주율을 계산하는 근사 공식에 극한 개념 적용
(7) 극한 개념(m → ∞)을 도입한 원주율 계산 공식을 제시

 

위에서 설명한 쿠랑이 제시한 원주율을 계산하는 공식의 전개 과정을 요약하면,

 

원에 내접하는 정3각형, 정5각형, 정6각형 등 설명 ━▶ 정n각형에서의 원주율 계산 설명 ━▶  정2n각형에서의 원주율 계산 설명 ━▶ 원에 내접하는 정2^n각형에서 원주율 계산 착안 ━▶ 정4각형 ~ 정2^m각형에서 한변의 길이와 둘레 계산 ━▶ 원주율 계산 근사 공식 도출 ━▶ 극한 개념(m→∞) 도입 ━▶ 원주율 계산식 발표(1941)

 

와 같이 착상과 원주율 계산식의 도출 과정이 필자와 상이하다. 쿠랑이 제시한 식의 형태로 보면, 2 라는 숫자의 복제곱근호로 구성된 원주율 계산 공식임을 알 수 있다.
 
위에서 본 것처럼 필자는 22.5°를 3등분한 7.5°에서  정48각형 을 찾아내고 48 이라는 숫자를 6*2^3으로 표현한 다음, 정(6*2^k)각형으로부터 정(6*2^0)각형 즉 정6각형에서 출발하여 정(6*2^k)각형일 때의 원주율 근사값을 계산하는 공식을 도출한 후에 극한 개념인 k→∞을 적용하여 쿠랑과는 완전히 독립적으로 1994년에 원주율 계산공식을 발견했다. 그리고 이 공식을 2003년 11월에 명제로 만들어 라고 명명했다. 반면에 쿠랑은 정n각형에서 착안한  정2n각형 을 가지고 정4각형, 정8각형에서 출발하여 정2m각형에서의 극한 개념을 도입한 m→∞을 적용하여 원주율 계산 공식을 도출했다.

 

일반적으로 고대 그리스 이래로 16세기까지는 원주율을 계산하는 공식을 도출하기 위해 주로 정4각형, 정6각형 등과 같은 정다각형에 극한 개념을 활용하기도 했다. 아르키메데스(Archimedes, B.C. 287 ~ 212)는 원에 내외접하는 정96각형으로 원주율을 소수점이하 2자리까지 구했는데, 정96각형의 근본은 정6각형이다. 그리고 프랑스 수학자 비에트(Viete, 1540 ~ 1603)는 복제곱근호 형태의 원주율 계산 공식을 최초로 제시한 수학자로서, 그는 정393216각형(정6*2^16각형)으로 원주율을 계산했는데 역시 그 근본은 정6각형이었다. 원나라 때의 수학자 조우흠(趙友欽, 1271 ~ 1335)은 정{2^(k+2)}각형 즉 정4각형의 계열의 정다각형을 가지고 원주율을 구했다고 한다. 그리고 독일의 수학자 니콜라이 쿠사(Nicolaus de Cusa, 1401 ~ 1464)는 정2^n각형으로 원주율을 계산했다고 한다. 또한 독일 수학자 가우스의 스승인 파프(J. F. Pfaff, 1765 ~ 1825)는 정(6*2^n)각형으로 원주율을 계산했다고 알려져 있다.

 

결론적으로, 쿠랑은 그의 저서(Wat is the mathematics?)에서 4각형 계열의 정다각형으로 원주율을 계산하는 식을 제시하였고, 필자는 정6각형 계열의 정다각형으로 원주율을 계산하였는데, 필자가 새로 발견한 원주율 계산 공식과 쿠랑이 제시한 원주율 계산 공식이 모두 복제근호로 표시된다는 외형적인 형태로 판단할 것이 아니라, 착상 과정과 계산 결과로 본 공식의 숫자의 계수가 서로 다른 만큼 쿠랑이 발견한 식을 재발견했다고 볼 수는 없다. 아무튼 라는 명칭은 필자가 최초로 그 이름을 붙였는데, 쿠랑이 제시한 식도 명제로 바꾸면 중의 하나에 속한다.