제가 올렸던 답변들 중에서 간추린 것입니다
예] 두집합 A ={2, 4, {2,4} , {6,8,10}}, B={0, ,{O} }대하여 n(A)-n(B)를구하여라
n(A) - n(B) = 4 - 2 = 2 입니다.
예] 세집합 A={XㅣX는 15의 약수}, B={XㅣX는 15보다 작은홀수},
C={XㅣX는 15xX=3을만하는자연수} 에 대하여 n(A)+(B)+n(C)를 구하여라/.
15의 약수는
1×15, 3×5 이므로 A = {1, 3, 5, 15} 입니다. 따라서 n(A) = 4,
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} 이므로 n(B) = 7
15×X = 3
X = 3/15 = 1/5 이므로 X를 만족하는 자연수는 없으므로 공집합 입니다
C = ø 이므로 n(C) = 0 입니다, 따라서
n(A) + nB) + n(C) = 4 + 7 + 0 = 11 입니다
예] 전체집합U={xllx1≤2인정수}의 두 부분집합A={xllx≤1인정수},B={xl0<x<3인정수}에 대하여
A의 여집합과B의 여집합의 교집합을 구하여라
U = { ....-2, -1, 0, 1, 2}, A = { ....-2, -1, 0, 1}, B = {1, 2} 이므로
Ac = {2} Bc = { ....-2, -1, 0} 입니다. 따라서
Ac∩ Bc = {2}∩ { ....-2, -1, 0} = ø 이므로
Ac∩Bc = ø 입니다
예]
두집합 A={1,2,3}, B={4,5}에 대하여 집합 C={x|x=a*b, a∈A, b∈B}일 때,
집합 C를 원소나열법으로 나타내어라.
C = {4, 5, 8, 10, 12, 15}
예]
전체집합 U={a,b,c,d,e}에 대하여 n(A)=4인 집합 U의 부분집합 A를 모두 구하여라.
n개의 부분집합의 개수 = 2ⁿ 이므로 2⁴= 16개 입니다
예]
두집합 A={2, 4, a+3}, B={1, 4, a+2}에 대하여 A-B={2, 6}일 때, A∪B를 구하여라.
a+3 = 6 이므로 a = 3 입니다. 따라서
A = {2, 4, 6} B = {1, 4, 5} 이므로 A∪B = {1, 2, 4, 5, 6}
예]
전체집합 U의 부분집합 A,B에 대하여 n(U)=40, n(A)=18, n(A∩B여집합)=12, n(B여집합)=20일때, n(B∩A여집합)을 구하여라.
n(A∩B) = 6, n(B) = 20 이므로
n(B∩A여집합) = n(B) - n(A∩B) = 20-6 = 14입니다
예]
우리반 학생 25명 중에서 수학을 좋아하는 학생은 12명, 영어를 좋아하는 학생은 11명이고, 수학이나 영어를 좋아하는 학생은 19명이다. 다음을 구하여라
(1) 두 과목 모두 좋아하는 학생의 수
12+11 -19 = 4명
(2) 두 과목 다 싫어하는 학생의 수
19명
(3) 어느 한 과목만 좋아하는 학생의 수
수학만 좋아하는 학생 = 12-4 = 8명, 영어만 좋아하는 학생 = 11-4 = 7명 이므로
8+7 = 15명 입니다
예]
두 집합 A, B에 대하여 A={1, 2, 4, 8}, B={2, 4, 6}일 때, A∩X=X, (A∩B)∪X=X를 만족하는 집합 X의 개수를 구하여라.
X = {2, 4} 이므로 집합X 의 원소의 개수는 2개 입니다
예]
어느 학급의 정원은 35명이다. 그중 전라도에 가본 학생은 25명, 경상도에 가본 학생은 20명 일때, 두 장소에 모두 가본 학생은 최소 몇명인지 구하여라.
전라도에 가본 학생을 집합 A, 경상도에 가본 학생을 집합 B라 하면
두 장소에 모두 가본 학생은 n(A∩B) 이므로
n(A∩B) = (25+20) - 35 = 10 이므로 10명 입니다
예] 두 집합 A, B에 대하여 n(A)=20, n(B)=25, n(A∪B)=34일때, n(A-B)를 구하여라.
n(A)+n(B) - n(A∩B) = n(A∪B) 이므로
20+25 - n(A∩B) = 34
n(A∩B) = 11입니다. 따라서
n(A-B) = 20 - 11 = 9 입니다
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교집합 |
두 집합 에 대하여 에도 속하고 동시에 에도 속하는 원소 전체로 이루어진 집합을 와 의 교집합이라 하고, 이것을 기호로 와 같이 나타낸다.
또 읽을 때에는 「 와 의 교집합」이라고 읽는다.
두 집합 와 의 교집합을 조건제시법으로 나타내면 다음과 같다.
두 집합 와 에 공통적으로 속하는 원소가 하나도 없으면 교집합 는 공집합이다.
두 집합 에 따라 를 벤 다이어그램으로 나타내는 방법은 다음의 가지 경우가 있다.
▶▶ 보기
이면
이면
이면
는 짝수 는 6 의 배수 } 이면
이면
ㅏ, ㅓ, ㅗ, ㅜ, ㅡ, ㅣ ㅗ, ㅜ 이면
ㅗ, ㅜ
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합집합 |
두 집합 에 대하여 에 속하거나 에 속하는 모든 원소로 이루어진 집합을 와 의 합집합이라 하고, 이것을 기호로 와 같이 나타낸다. 또 읽을 때는 「 와 의 합집합」이라고 읽는다.
두 집합 와 의 합집합을 조건제시법으로 나타내면 다음과 같다.
또는
두 집합 에 따라 를 벤 다이어그램으로 나타내는 방법은 다음의 가지 경우가 있다.
▶▶ 보기
이면
는 12 의 약수
는 15 의 약수 이면
눈, 코, 귀, 입 귀, 손, 입, 발 } 이면
눈, 코, 귀, 입, 손, 발 }
이면
는 3 보다 크고 10 보다 작은 짝수 } 이면
이므로
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교집합, 합집합의 원소의 개수 |
두 유한집합 에 대하여 교집합과 합집합의 원소의 개수 사이의 관계는 다음과 같다.
특히 이면 이므로
이 때 집합 의 원소의 개수 는 가 유한집합일 때만 생각하는 것과 마찬가지로 두 집합의 합집합 또는 교집합의 원소의 개수도 유한집합일 때만 생각한다.
▶▶ 보충
다음 벤 다이어그램에서
①＋③
②＋③
③
이므로
① ② ③
① ③ ③ ② ③
▶▶ 참고
가 유한집합일 때
인 관계가 이루어진다.
▶▶ 보기
이면
이면
이므로
사과, 딸기, 복숭아, 키위 딸기, 참외, 수박, 복숭아 이면
이므로
ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ ㄱ, ㄷ, ㅁ 일 때
이므로
일 때
이므로
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전체집합과 여집합 |
어떤 주어진 집합에 대하여 그의 부분집합만을 생각할 때, 처음 주어진 집합을 전체집합이라 하고, 이것을 보통 로 나타낸다.
또 전체집합 를 벤 다이어그램으로 나타낼 때에는 다음과 같이 나타낸다.
전체집합 의 부분집합을 라 할 때, 에 속하고 에 속하지 않는 모든 원소의 집합을 에 대한 의 여집합이라고 하며, 이것을 기호로 와 같이 나타낸다.
또한 집합 를 조건제시법으로 나타내면 다음과 같다.
또한 벤 다이어그램에서
▶▶ 참고
의 는 여집합 의 첫글자로 오른쪽 위에 작은 글씨로 쓴 것이다.
2. 전체집합을 보통 로 나타내는데, 이것은 전체집합 의 첫글자를 사용한 것이다.
3. 전체집합 에 대한 여집합은 이다.
4. 공집합의 여집합은 이다.
▶▶ 보기
이면
는 정수 는 자연수 이면
는 6의 약수 이면
는 10 이하의 자연수 일 때
는 자연수 이고 는 짝수 일 때
는 홀수 는 짝수
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차집합 |
두 집합 에 대하여 의 원소 중에서 에 속하지 않는 모든 원소로 이루어진 집합을 에 대한 의 차집합이라 하고, 이것을 기호로 로 나타낸다.
이 때 집합 를 조건제시법으로 나타내면 다음과 같다.
집합 와 를 벤 다이어그램으로 나타내면 각각 다음과 같고, 이들은 서로 다른 집합임을 알 수 있다.
▶▶ 참고
1. 전체집합 의 두 부분집합 에 대하여
2. 이고 이다.
3. 를 「 에 대한 의 차집합」이라고 읽는다.
4. 일 때
에 대한 의 여집합은 그리고
에 대한 의 차집합은 그리고
이므로 인 것을 알 수 있다.
즉 여집합은 전체집합에 대한 차집합으로 생각할 수 있다.
5. 여집합은 전체집합이 주어져야 구할 수 있지만
차집합은 두 집합만 주어지면 구할 수 있다.
▶▶ 보기
이고 두 집합 에 대하여
는 2의 배수}일 때 집합 를 원소나열법으로 나타내면 이므로
는 정수 는 자연수 이면
이면
이면 이므로
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차집합과 여집합의 원소의 개수 |
차집합과 여집합의 원소의 개수는 벤 다이어그램을 이용하여 쉽게 구할 수 있다.
다음 벤 다이어그램의 두 집합 와 에 대하여
임을 알 수 있다.
특히 일 때, 임을 알 수 있다.
전체집합 의 부분집합 에 대하여
▶▶ 보기
이고 두 부분집합 가
, 는 의 배수
일 때, 집합 를 원소나열법으로 나타내면
따라서 이므로
는 보다 크고 보다 작은 정수}의 부분집합 가 는 자연수}
이면 이므로
이면 이므로
이면 이므로
는 20보다 작은 자연수}의 부분집합 가 는 4의 배수 이면
이므로
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소인수분해 |
세 자연수 에 대하여 일 때 를 의 인수라고 한다.
이 때 인수 중에서 소수인 인수를 소인수 라고 한다.
주어진 자연수를 소인수들만의 곱으로 나타내는 것을 소인수분해한다 고 한다.
(1)소인수분해의 성질
| ① |
소인수분해한 결과는 보통 크기가 작은 소수부터 차례로 쓰고, 같은 소인수의 곱은 거듭제곱으로 나타낸다. |
| ② |
소인수들의 순서를 생각하지 않으면 1 이 아닌 자연수는 오직 한 가지 결과로 소인수 분해된다. |
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(2) 소인수분해하는 방법
| ① |
먼저 두 개의 인수의 곱으로 나타내고, 다시 각 인수를 소수들만의 곱이 될 때까지
나누어간다.
[예]
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| ② |
소수인 인수를 찾아 몫이 소수가 될 때까지 나누어간다.
[예]
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▶▶ 보기
으로 소인수분해된다.
이 때, 2 와 3 은 12 의 소인수이다.
로 소인수분해되고, 이 때 2, 3, 5 는 30 의 소인수이다.
으로 소인수분해된다.
으로 소인수분해된다.
를 소인수분해하면
이므로 이다.
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자연수의 제곱이 되는 수 |
어떤 자연수를 소인수분해하였을 때 각 소인수의 지수가 짝수일 때 그 수를 자연수의 제곱이 되는 수라고 한다.
▶▶ 보기
1. 16을 소인수분해하면 에서
이므로 16은 자연수의 제곱이 되는 수이다.
은 이므로 자연수의 제곱이 되는 수이다.
를 소인수분해하였을 때 에서
이므로 자연수의 제곱이 되는 수이다.
4.81을 소인수분해하면 이므로 자연수의 제곱이 되는 수이다.
5.144를 소인수분해하면
이므로 자연수의 제곱이 되는 수이다.
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250을 가장 작은 자연수 a로 나누어 어떤 자연수 b의 제곱이 되도록 할 때, a+b의 값은?
250을 소인수 분해하면
250 = 2¹×5³ 이므로 지수가 홀수 인 인수 2와 5를 나누면 2는 없어지고
지수가 홀수인 5³ 은 5² 으로 짝수가 되어 제곱 수 가 됩니다
따라서 (2¹×5³)÷ (2×5) = 5² 이 되므로 a = 10, b = 5 입니다.
따라서 a + b = 10+5 = 15 가 나옵니다.
1) 200에 자연수 x를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려고한다.
x가 될수있는 수중에서 두번째로 작은수를 구하여라.
200을 소인수 분해하면
200 = 2³ ×5² 이므로 지수가 홀수 인 인수 2를 곱해주면 제일 작은 자연수가되니까
두번째로 작은 자연수는 2³ = 8 입니다
2) 75를 자연수 x로 나누어 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려고한다.
나누어야 할 가장 작은 자연수 x를 구하여라.
75 = 3×5² 이므로 지수가 홀수 인 3을 나누어 주면
3×5² ÷3 = 5² 이 되므로 가장 작은 자연수는 3 입니다
Q:168의 소인수 전체의 집합은?
168을 소인수 분해하면
168 = 2³×3×7 이므로 소인수 전체 집합은 {2, 3, 7} 입니다
Q:40에 되도록 작은 자연수 A를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려고 할 때, A의 값은?
40 = 2³×5 이므로 지수가 홀수인 2와 5을 곱하면
2³×5× (2×5) = 2⁴×5² = (4×5)² = 20² 이므로 A의 값은 10 입니다
어떤 자연녀수는 20 입니다
자연수 45에 되도록 작은 자연수 a를 곱하여 어떤 자연수의 b의 제곱이 되게 하려고 한다.
이 때 a+b 의 값은 얼마인지 구하시오.
45를 소인수분해하면
45 = 3² ×5 이므로 지수가 홀수인 5를 곱하면
3² ×5×5 = (3×5)² = 15² 이 되므로
a = 5, b = 15 입니다. 따라서a + b = 5 + 15 = 20 입니다
