[유체역학]분기되는 배관에서의 유량 계산 질문드립니다.

1. 마찰손실은 원형 관의 경우 속도에 비례합니다.

1-1 저항이 크면 손실에너지가 생기고 손실에너지는 유속에 영향을 끼치므로 유량이 감소합니다.

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둘 다 맞는말입니다.

유속이 빠르다 ->저항이크다-> 유량이 줄어든다

이렇게 이해하심 될듯요.

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2,3,4

배관이 분기되면 마찰저항이 상승하므로 유량이 줄어듭니다.

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질1. “1. 유량(유속)이 크면 압력손실이 크다는 내용과 배관의 저항(압력손실)이 크면 유량이 작아지는 것이 두 개의 모순된 내용이 둘다 맞는 내용으로 느껴지는데,,”

답: 이 질문은 독립변수(변화를 야기시키는 변수), 종속변수(결과가 되는 변수), 그리고 고정된 변수에 대한 개념이 명확하지 않아서 나온 것으로 여겨지는군요.

배관에서 압력손실dP와 이에 관련된 인자간의 관계는 다음 식

dP=0.5*밀*(f*L/d+K)*v^2 ..... 1)

밀:밀도. f:마찰저항계수 L:관 길이, 관:직경, K:형상저항계수

‘유량(유속)이 크면 압력손실이 크다’ à 1)식에서 우변의 v가 독립변수이고, 나머지는 고정변수, 그리고 종속변수가 좌변의 dP.

‘저항(압력손실)이 크면 유량이 작아지는 것’à 1)식에서 우변의 (f*L/d+K) 가 독립변수이고 우변의 v가 종속변수.

즉, 1)식을 아래 형태로 적용한 경우

Q^2= dP/{0.5*밀*(f*L/d+K)} ....2)

1),2) 다 같은 식이고 적용상의 차이는 어떤 변수가 고정인가운데 어떤 변수가 변화를 야기시키도록 변화시키고 그 결과 어떤 것의 변화를 보고자 하는 것인가하는 관찰관점의 차이

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질2, 3: “보라색 구간의 유량이 늘어날지..”, “빨간색 구간에서의 유량이 그대로일지...”

답: 변경 경우, 보라색 구간의 유량은 전체 유량, 그리고 빨간색 구간의 배관한개의 유량은 전체 유량의1/2. 따라서 질2,3은 변경 경우(경우2)의 전체유량 Q2가 기존경우(경우1)의 전체유량Q1보다 클 것인가, 크다면 2배 이상이 될 것인가로 Q2/Q1에 대한 질문로 귀결

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가. 정석적 설명

배관 변경 전후의 비교시, 배관계는 3구간, 수조에서부터 구간 ’가’, ‘나’, 다’

변경후의 각 구간 특성을 변경전을 기준으로 보면,

‘가’:동일, ‘나’:길이 1/2, 유로면적 2배 ‘다:유로면적 2배

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‘2)식에서 보면, 배관 양단에 동일한 압력차이가 가해질 경우, 유량^2은 배관길이에 반비례하고 직경에 비례.

그런데 유속v는 동일유량시 유로면적에 반비례

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따라서 각 배관 구간은 아래와 같이 유량의 변화요인에 서로 다르게 작용

‘가’:동일 Q되도록, ‘나’:Q가 2.8(root 8)배 되도록 ‘다: Q가 2배 되도록

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즉, 구간 ‘나’,’다’는 Q2/Q1>=2가 되도록 하는 데 구간 ‘가’는 그렇지 않음.

이로 인해 즉, Q2/Q1 >1? 또는 2? 여부는 기존 배관계에서 구간 ‘가’ 차지하는 유동저항 비중이 얼마나 되는가에 따라 결정됨. (극단적인 경우를 생각하면 문제의 성격이 쉽게 들어나지요. '가'가 대부분:유량은 거의 일정, '다'가 거의 대부분:유량은 거의 두배)

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나. 수식적 설명

배관변경을 할 것인가 말것인가를 결정하려면 정성적 분석이 아니라 정량적인 분석결과가 있어야겠지요. 이를 위한 설명입니다.

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기본식인 1)식을 적용하기에 앞세 표현의 단순화를 위해 다음과 같은 변수, B,C를 새롭게 정의

B=0.5*밀*(f*L/d+K) ......3)

C=B/A^2 ...... 4)

A:유로면적

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3),4) --> 1)

dP = B/A*Q^2 = C*Q^2 .... 5)

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기존을 경우1, 변경을 경우2로 지칭,

dP2= C가*Q2^2 + C분기* Q2^2+합i{B나i}2* Q2^2/A나2^2 +B다2* Q2^2/A다2^2 ....6)

C분기:배관을 병렬화하면서 추가되는 배관 분기요소의 저항

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합i{B나i} =0.5*밀* 합i{(f*L2/d2).i+K2.i}.나 .... 7)

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구간 ‘나’에서 길이2=0.5길이1, d2=d1 .....8)

8) --> 7)

합i{B나i}2 =0.5*밀*0.5* 합i{(f*L1/d1).i+K1.i}.1 =0.5*합i{B나i}1 = 0.5B나1 ....9)

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또한 A나2=2*A나1 ...10)

‘다’구간은 동일크기, 길이의 배관 사용이기에,

B다2= B다1 ....11)

9),11) --> 6)

DP2= C가*Q2^2 + C분기* Q2^2+ 0.5B나1* Q2^2/(2*A나1)^2 +B다1* Q2^2/(2*A다1)^2 ....12)

={ C가+ C분기+1/8* B나1/ A나1^2 + 1/4*B다1/ A다1^2 }* Q2^2

={ C가+ C분기+1/8*C나1 + 1/4*C다1 }* Q2^2 ...13)

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그리고 기본경우에 대한 압력손실=dP1(=dP2) .... 14)

dP1 ={ C가+ C분기+C나1 + C다1 }* Q1^2 ....15)

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13) ,15) --> 14)

Q2/Q1 = { C가+ C분기+C나1 + C다1 } / { C가+ C분기+1/8*C나1 + 1/4*C다1 } ...16)

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16)의 C는 배관요소의 유동저항 특성계수, 유로면적의 함수로 3), 4)식에 의해 각 구간별로 계산하여 사용.

이들 중 구간’나’의 유동저항이 크다니 아마도 C분기는 무시해도 되지 않을까 해지는군요.

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관건은, 앞의 정석적 답변에서도 언급했듯이 C가의 크기가 전체 C값에서 차지하는 비중이 얼마나 되는가.