XOR 논리식 A⊕B=AB`+A`B 증명

수학적으로 설명

 

혹시 드모르간의 법칙이라고 아시나요?

수학의 집합에서도 드모르간의 법칙이라고 해서 씁니다만...

정도의 차이가 있긴 하나 부울대수에서도 드모르간의 법칙을 씁니다.

부울 식을 논리회로로 표현할 때도 이 드모르간의 법칙이 유용합니다.

 

우선 AND와 OR의 상호개념(NAND와 NOR도 포함해서...)에 대해서 알아보면,

A와 B 두개의 입력이 있다고 할 때,

 

(A+B)' = A'ㆍB'

(AB)' = A'+B' 인것은 아시죠? 이게 드모르간의 법칙이라고 합니다.

따라서 언제든지 AND와 OR이 뒤바뀔 수도 있습니다. 왠지 감이 오시나요?

 

그런데 입력에 invertor 혹은 bubble(물방울 모양이라고 해서 버블이라 부름)을 붙여보면,

(A'+B')' = AB      반대로,

(A'B')' = A+B

이렇게 되는군요... 위 모양과 별 차이 없는 거 같아보이지만...

논리회로로 표현해보면,

A,B 두개의 입력에 각각 버블을 붙이고 OR 게이트를 붙여준 뒤 출력에 버블을 붙여주면 = AND게이트.

A,B 두개의 입력에 각각 버블을 붙이고 AND 게이트를 붙여준 뒤 출력에 버블을 붙여주면 = OR게이트.

정확히 반전이 되었네요. 바꿔쓸 수 있다는 뜻이군요.

 

다르게 설명하면

A,B 두개의 입력에 각각 버블을 붙이고 OR 게이트를 붙여준 뒤 출력에 버블만 없다면 = NAND게이트.

A,B 두개의 입력에 각각 버블을 붙이고 AND 게이트를 붙여준 뒤 출력에 버블만 없다면 = NOR게이트.

뭐 위 말과 다를바가 없습니다만...

 

중요한 것은 회로도 내에서 게이트가 바뀌면서 버블이 자유자재로 이동할 수 있다는 얘기가 되겠습니다.

OR/AND게이트로 들어가는 A,B 두개의 입력에 각각 붙은 버블은,

게이트가 AND/OR게이트로 바뀌면서 입력에 붙어있던 것들이 사라지고 출력에 버블로 옮겨가는 거란 얘기죠.

 

4번째 다시 말합니다.

게이트를 중앙으로 왼쪽이 입력, 오른쪽이 출력이므로...

invertor-OR = AND-invetor = NAND

invertor-AND = OR-invertor = NOR

아시겠나요? 제가 그림으로 그리면 수월한데 그림으로 그리면 매우 더디니 이렇게 할 수 밖에 없네요.

버블(인버터)가 논리회로 내에서 자유자재로 움직일 수 있다는 게 요점입니다.

 

 

 

위 설명을 토대로 하면,

님께서 의문점을 가지시는 첫번째 문제는 드모르간의 법칙을 사용하면 쉽게 해결되구요.

아마 그렇다면 출력을 AND가 아닌 NAND로 묶어야 할 것입니다.

 

두번째는,

(AB + A'B')(A + B) = ABㆍA + ABㆍB + A'B'ㆍA + A'B'ㆍB

여기서 ABㆍA는 AB가 더 작은 범위이므로 AB,

A'B'ㆍA는 A'ㆍA = 0이므로 소거.......... 결국 식은 AB + AB = AB..............

간략하게 AB가 되는군요.

 

전기전자에 응용 활용에서

 

1. Exclusive OR

 

y = A'B + AB' 라는 문제는

 

   입력 2개짜리  OR 게이트를   세로로   두개 그림

 

  =>  위에 있는 OR 게이트는  A에  인버터 담.

 =>  밑에 있는 OR게이트는  B에 인버터 담.

 

OR 게이트에 나온 출력을   AND 게이트로 묶음.

위 식과 같이 Exclusive OR Logic은 다양하게 구현할 수 있습니다.

그림은 첫번째 식과 마지막 식을 AND, OR, NOT Gate를 이용하여 구현한 것입니다.

 

2. Logic 간소화

 

원 식을 전개하면 두번째 식과 같고, 두번째 식에서 AA'와 BB'는 "0" 이므로 이들 항은 소거하고

AA=A 이고 BB=B 이므로 AB 만 남습니다.

 

3. Exclusive NOR

 

Exclusive NOR 는 1번 식과 그림에서 XOR 출력을 반전(Inverting, NOT)시키면 됩니다.

그리고 주어진 식처럼 간략화하여 구현하면 위 그림과 같습니다...^