금성의 위상 변화로 거리를 알 수 있나요?

2가지 관측사실을 통해 알아낼 수 있습니다.

회합주기 관측, 금성의 위상 관측.

 

 

금성의 위상으로 거리를 구하기 위해서는

태양-금성간 거리를 알아야 하고,

태양-금성간 거리를 알기 위해서는 회합주기를 구해서,

금성의 공전주기를 알면 됩니다.

 

그 다음엔 금성 위상에따른 삼각형을 작도하여,

코사인 법칙으로 지구-금성간 거리를 유도해 내면 되겠습니다.

 

중간에 다소 복잡한 수학적 내용이 포함되어 있기는 하나,

관심 있으신 분께서는 그 방법만 대략적으로 파악해 주셨으면 합니다.

 

고교과정에서 지구-금성간 거리에 대해서 언급되지 않고 있기 때문에,

그 부분에 대해서 궁금증을 가졌던 분이 계셨으리라고 생각합니다.

이 글을 통해 의문이 풀리시길 바랍니다.

 

 

 

1. 회합주기 (S) - 회합주기를 알면 금성의 공전주기를 알 수 있습니다.

 

공전속도 차이에 의해서 회합주기가 생기게 되는데,

결국, 태양-지구-행성이 일직선이 되는 주기를 회합주기라 하는 것이죠.

좀, 유식한 척 하려면 다음과 같이 정리해 주면 됩니다.

 

1. 내행성의 경우 내합에서 내합까지의 주기.

(물론, 외합에서 외합, 동방최대이각에서 동방최대이각까지도 마찬가지)

 

2. 외행성의 경우에도 충에서 충까지의 주기.

 

회합주기는 수식에서 보통 S로 표시합니다.

 

어쨋든 위에서 증명했듯이, 외행성은 지구가 하룻동안 돌아가는 각도보다 느린데요.

외행성 P의 하룻동안 공전하는 각도보다 지구의 공전하는 각도가 더 클테니까,

외행성과 지구의 회합주기를 유도해 봅시다.

 

360도/365일(Te) 로 쓸 수 있겠습니다.

Te는 지구의 공전주기라는 의미입니다.

 

외행성 P의 공전주기를 Tp라고 한다면,

외행성이 하루동안 공전한 각도는

360도/Tp 로 쓸 수 있겠지요?

 

그러면, 두 항의 차이각은 하루 동안 지구와 외행성이 공전한 각의 격차가 되겠지요?

360/Te - 360/Tp

 

두 행성의 하룻동안 공전한 각의 격차가 360도가 되면 결국, 그것이 회합일, 회합주기라고 볼 수 있겠네요.

다시 말해, 공전한 각의 격차가 360도가 되어 다시 두 행성은 일직선상에 놓인다는 얘기죠.

(360/Te - 360/Tp)S = 360도

 

모든 항에 360S로 나눠버리면,

1/Te-1/Tp=1/S

 

이것이 바로, 회합주기가 되겠습니다.

내행성은 Te대신 내행성 주기 집어 넣고, Tp 대신 지구 주기 집어 넣으면 되겠죠?

 

 

 

2. 행성의 공전주기로 "태양-금성의 거리 구하기"

 

행성의 공전주기T는

원의 궤도로 공전한다고 가정했을때,

"총 이동거리(원주) 나누기 원주를 다 도는데 걸리는 시간"이 되겠죠.

T=2πr/t  -----------------------(1)

 

여기서 원주의 거리를 다 도는데 걸리는 시간 t는 지구의 경우 12개월이므로,

지구의 공전주기 T는

T=2πr/12

T=πr/6

r은 원의 지름을 의미하므로, 여기서는 태양과 지구의 거리를 의미합니다.

따라서, 태양-지구간 거리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

r=6 T/π  -----------------------------(2)

 

이제 다른 행성의 주기를 T라 합시다.

(다른 행성의 주기도 1바퀴, 2바퀴... 이런식으로 나가니까, T로 놔도 무방합니다.)

이제 그 행성의 거리를 r'라 하고, 그 행성의 공전시간을 t'라 합시다.

그러면 다음이 성립합니다.

 

T=2πr'/t'

r'=t'T/2π  -------------------------(3)

 

지구와 다른 행성의 반지름 비율은 (2)식:(3)식이 됩니다.

식으로 써 보자면,

r : r' = 6 T/π : t'T/2π  -------------------(4)

 

이제 이것을 r'에 대해 정리하면, 다른 행성과 태양간 거리가 구해 집니다.

(4)식을 계산하면,

r' 6 T/π = r t'T/2π

 

양변에 2π를 곱해주고, T로 나누면,

r' 12 = r t'

 

r'에 대하여 정리하면,

r' = r t'/12 ------------------------(5)

 

 

금성의 공전주기는 회합주기로부터 구할 수 있는데, 대략 7.5개월입니다.

7.5를 t'에 대입해 보면,

r' = 7.5r/12

r' = 0.625r

 

r은 지구-태양간 거리이니까, 금성은 지구-태양거리의 0.625배다라는 사실을 알 수 있습니다.

 

 

 

 

3. 금성의 위상으로 "지구-금성의 거리 구하기"

 

지구에서 태양과 금성이 이루는 각을 이각이라 부릅니다.

또한, 금성이 태양보다 동쪽에 있는 경우 동방이각이라 부르는데,

아래 그림과 같이 동방최대이각에 금성이 있을 경우, 금성의 위상은 반달(상현달)처럼 보이게 됩니다.

 

그런데, 이미 위에서 태양과 지구거리, 태양과 금성거리의 비율을 알고 있으므로,

그림을 그려 보면, 다음과 같음을 알 수 있습니다.

동방최대이각은 지구,태양,금성이 삼각형을 이루므로, 삼각함수로 알 수 있는데요.

sin 이각 = 0.625/1 ≒ 39도

 

그러므로, 지구와 금성의 거리는

cos 39 = 거리/r ≒ 0.77 AU

(1 AU = 지구-태양 거리)

 

즉, 금성의 위상이 반달처럼 보인다면, 0.77 AU 가 되는 것입니다.

 

 

 

이제, 금성이 다른 위상을 가질 때도 거리를 구할 수 있는데요.

금성의 그림자 부분이 절반이 보인다는 것은 금성 입장에서 태양과 지구의 각이 90도였음을 의미합니다.

 

 

금성의 그림자 부분이 30도 정도 많아지고, 밝은 부분은 30도 정도 줄어들 경우에는

금성의 입장에서 태양과 지구가 이루는 각이 120도임을 의미합니다.

 

 

이 때, 태양, 지구, 금성의 위치를 파악해 보면, 아래와 같은데요.

 

이렇게, 직각삼각형을 이루지 않을때는 cos 법칙을 이용하면 됩니다.

지구-금성의 거리를 R이라 한다면,

(1AU)² = (0.625AU)² + R² - 2(0.625AU)R cos120도  -----------------------(1)

과 같으므로, R에 대해 정리하면,

R² + 0.625R -0.609375 = 0

 

에 의해서,

 

[ -0.625+(2.828125)^1/2 ]/ 2

R ≒ 0.528 AU

 

(1)식이 바로, 위상에 따른 금성까지의 거리를 나타내는 식이 됩니다.

(1)식을 일반화 시키면 다음과 같이 정리할 수 있겠습니다.

(태양-지구거리)²

= (태양-금성거리)² + (태양-지구거리)² - 2(태양-금성거리)(태양-지구거리)cos(금성의 이각)

 

 

다소 복잡하긴 하나, 이렇게 코사인법칙으로, 금성의 위상을 알면, 그 거리를 구할 수 있습니다.