1번 개념 ) 페르미-디랙 통계는 전자뿐만이 아니라 스핀수가 반정수(1/2, 3/2, 5/2 등등)를 가지며 파울리의 배타원리를 따르는 모든 입자들에 적용가능한 통계입니다. 이 입자들을 통틀어서 페르미온이라 부릅니다. 만약 스핀수가 반정수가 아닌 정수(1, 2, 3 등등)을 가지면 페르미-디랙통계가 아닌 보즈-아인슈타인 통계를 따르며, 이런 입자들을 통틀어서 보존이라 부릅니다. 전자의 스핀은 아시다시피 1/2이므로 페르미온이고, 파울리의 배타원리를 따르므로 페르미-디랙 통계를 적용시킬 수 있습니다.
2번 개념 ) 가전자대 전도대 금지대 => 이 세개가 어디서 나왔는가를 알아야됩니다. 어떤 전자가 하나의 금속 원자에 속박되어 있는 상황을 가정하면 최외각전자는 어떤 특정한 오비탈에 머물고 있겠지요. 그런데 이 금속 원자가 또 다른 하나의 금속 원자랑 금속결합을 하게 되면 이 때 오비탈을 공유하게 되면서 하나의 결합오비탈과 하나의 반결합오비탈을 생성하게 되죠? 여기서 금속원자가 하나더 들어오고 하나더 들어오고 계속 계속 늘어나면서 셀 수 없이 엄청나게 많은 숫자의 결합 오비탈과 반결합오비탈들을 형성하게 되고, 결과적으로 엄격히 따지면 불연속이지만 거의 연속과 같다고 가정할 수 있을 정도의 빽빽한 결합오비탈 레벨들과 반결합오비탈이 만들어지면서 소위 말하는 "밴드", 즉 "대"를 형성합니다. 아래 그림을 보세요
N은 금속 원자의 숫자에요. 두개 때는 결합 반결합 하나씩 있다가 점점 숫자가 늘어나면서 저렇게 결국 섞이게 되는데, 저렇게 섞이면 그걸 금속이라 그래요. 아래 참조하세요
즉 결합오비탈과 반결합오비탈 밴드를 각각 가전자대, 전도대라 그러고 그 사이에 아무것도 존재하지 않는 공간을 금지대라 그래요. 즉 금속은 가전자대와 전도대가 서로 맞물려있어서 금지대가 없는 상황을 말하고 그 금지대가 너무 커서 가전자대에 속한 전자가 전도대로 이동할 수 없을만큼 에너지 갭이 크면 그걸 부전도체라 그래요. 근데 이 금지대가 아주~ 조그마하면요, 에너지를 충분히 주면 이 금지대를 뛰어넘을 수 있기 때문에 상황에 따라 금속일때도 있고 아닐때도 있는걸 반도체라 그러죠.
3번 개념 ) 수식은 다 이해한다고 그러셨으니 이제 그 수식이 뭘 의미하는지 알아야되요. 지금 제일 첫번째 그림에서 예를 들어서 금속원자가 3개가 결합했을 경우를 고려해볼게요. 금속원자가 각각 전자를 1개씩 가지고 있다 그러면 전자가 총 3개가 있을거고, 레벨도 3개가 있으니까 이런 현상이 일어나게되요.
1번 상황, 제일 아래 오비탈에 전자가 위로 하나 아래로 하나, 중간오비탈에 전자가 하나
2번 상황, 제일 아래 오비탈에 전자가 하나, 중간 오비탈에 전자가 위로 하나 아래로 하나
3번 상황, 각각 오비탈에 전자가 하나 하나 하나
4번 상황, 맨 위에 오비탈에 전자가 위로하나 아래로 하나, 중간에 하나
등등등등 많은 상황이 연출 될 수 있겠죠. 그 중에서 1번상황만 바닥상태이고 2번이후로의 상황은 모두 들뜬상태라는거죠.
양자적요동을 고려하게 되면 입자는 에너지를 단기적으로 빌려왔다가 다시 돌려주는 상황이 끊임없이 반복되고 있으므로, 이 전자들도 그 오비탈 사이를 왔다갔다왔다갔다 거리고 있는 유동적인 상황이라는 겁니다. 그런데 어떤 에너지대에 전자가 존재할 확률이 70% 라고 한다면 그 말은 10개중의 전자중 7개는 이 에너지대에서 시간을 보낸다는 것이지요.
그러니 4번 질문이 완전황당하다는걸 질문자도 이제 아시겠죠? 금지대에는 에너지대가 "없는" 겁니다. 그러니까 그 어떤 에너지대도 금지대에 "존재"할 수는 없습니다.
3번 질문은 그냥 예스이구요...
2번 질문은 그냥 전자를 하나만 놓고 생각해보세요.. 이 전자가요, 예를 들어서 오비탈이 10개 있는 상황이라고 생각해볼게요.. 그러면 맨 아래 오비탈(오비탈이 곧 에너지대이지요)에 존재확률이 3프로, 그다음 오비탈에 존재할 확률 7프로, 3번째 오비탈에 존재할 확률 70% (이건 너무 과장인데, 그래도 그냥 질문자의 예시를 따를게요) 그리고 4번째 ~ 10번째 오비탈에 존재할 확률은 그냥 나머지 20% 통틀어서라고 해볼게요(숫자 나누기 귀찮..).. 전자가 어딘가는 존재해야 되니까 도합 100%는 되야되잖아요..
그 말인 즉슨, 이 전자가 아파트 1층부터 10층까지 왔다갔다왔다갔다 거리고 있는데, 경비원인 제가 이 전자가 어디있나! 하고 찾아보면 70% 확률로 3층에서 발견하고, 1층에 있을 가능성은 3프로, 2층에 있을 가능성은 7프로, 그리고 그 나머지 층에서 발견될 확률은 20프로라는거에요.
그리고 한가지 중요한거 ) 전자가 한 에너지대에 10개 존재할 수가 없죠? 왜? 파울리 배타원칙을 따르니까요. 즉 한 에너지대에는 어차피 전자가 최대 2개밖에 존재하지 못해요 (위로 하나 아래로 하나), 그런데 이것들이 하도 서로 왔다갔다 거리면서 서로 위치를 바꾸면서 층을 왔다갔다 거리니까 모든 전자는 모든 층수에 액세스를 할수가 있다는 것일 뿐, 2개 초과의 전자가 한 에너지대에 동시에 존재할 확률은 0%입니다. 만약 그랬다면 페르미-디랙 통계가 어차피 적용이 안되요..
1번 질문은 이미 답변이 끝나버렸군요..
그럼 이만 도움이 되었길 바랍니다.
참고로 통계열역학 유도식은...
http://en.wikipedia.org/wiki/Fermi%E2%80%93Dirac_statistics#Derivations_of_the_Fermi.E2.80.93Dirac_distribution
이 페이지가 진리이지요.
ㅂㅂ~
