물리에서 나오는 근사 계산에 대하여

Question

물리에서 보면 증명과정에서 근사 계산이 꽤 많이 등장합니다.예를 들어 x가 매우 작은 값일 때 sin x = tan x = x 가 성립한다고 합니다.이것을 이용하여 공식을 만들었을 경우에그 공식을 사용하면 오차가 거의 없는 것인가요?오차가 크다면 실제 공학에서 그 공식은 어떻게 이용 되는 것인가요?

Accepted Answer

물리라는 학문은 실생활에서 일어나는 현상을 분석하는 것입니다.

수학에서는 수식과 계산이 중요할 지 모르지만, 물리에서는 계산만이 중요한 것이 아니라 그 속에 담겨있는 물리적인 의미를 찾아야 합니다.

즉, 복잡한 현상을 복잡한 수식으로 풀더라도 그 속에 담겨 있는 의미를 모른다면 아무런 의미가 없습니다. 그래서 물리에서는 물리적 의미는 찾는 과정에서 본 의미가 왜곡되지 않는 선에서 근사를 통해 최대한 간단하게 수식을 전개합니다.

물리적 의미를 찾은 후에 근사가 아닌 실제 상황에 적용해도 전혀 문제가 없기 때문입니다.

sin x = tan x = x 라는 근사식은 degree값에 해당하는 것이 아니라 radian값에 해당하는 것입니다.

따라서 x에 π/18(= 10˚)≒ 0.17454을 넣어보면
sin (x /18)≒0.17365 , tan(x /18)≒0.17633 이 됩니다.

10˚정도의 큰 각도에서 실제 세 데이터는 큰 차이가 없습니다.
이와 같이 근사로 처리하더라도 물리적 의미나 결과에 거의 영향을 주지 않을 정도의 작은 값에 대해서만 근사적으로 처리를 하게 됩니다.

Answer

sinx 는 다음과 같이 나타낼수 있습니다 (테일러 전개)

sinx = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ....

tanx = x + x^3/3 + 2x^5/15 + ...

입니다

sinx - x 의 값은 x^3/6 - x^5/120 + ... 로 가장 큰 항이 x의 세제곱이죠

x가 매우 작을때, 예를들어 x가 0.1 이라 하면

sinx - x = 1/6000 - 0.00001/120 + ... 로 0.0001 정도밖에 안됩니다

거의 무시해도 되는 값이죠

실제 계산기에서도 sin이나 tan 함수를 계산하라는 명령을 받으면 각 함수를

테일러 전개하여 (위와 같이) 구합니다

만약 sinx 를 좀 더 정교하게 구하고 싶다면 sinx = x - x^3/3! 라 두고 계산하고,

좀 더 정교하게 구하고 싶다면 sinx = x - x^3/3! + x^5/5! 라 두고, 좀 더 정교

하게 계산하고 싶다면 sinx = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! 라 두고 계산하십시오

오차율은 자기가 계산한 항의 그 다음항 정도가 되겠지요

요약하면, 어떤 함수이든 그 함수를 멱급수로 나타낼수 있다면 근사값과 오차까지

계산할수 있습니다.

멱급수, 테일러 전개, 오차 등의 어려운 단어가 나왔는데 좀 더 알고 싶으시면

미적분학의 근사다항식, 테일러 전개 파트를 공부해 보세요 ^^

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