슈뢰딩거 방정식을 유도할 때 파동함수를 2번 미분하는 이유

관점을 다르게보셔야 해요..! 2번 미분한다는 느낌이 아니라 파동함수에 2번 미분을 '취한다(가한다)'는 느낌이에요. 전문 용어를 써도 얻는게 없으니 최대한 쉽게 설명해볼게요.

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혹시 슈뢰딩거 방정식이 무엇을 의미하는지 아시나요? 슈뢰딩거 방정식은 양자역학에서의 F=ma와 같은 역할을 해요. 경계조건과 퍼텐셜 V가 주어지면, 그 입자의 운동상태를 확인할 수 있는것이죠. 일단 간단하게 어떤 퍼텐셜 V가 시간에 무관하고 위치에만 의존한다고 생각해보죠. 여기서 퍼텐셜 V가 시간에도 의존한다고 생각한다면, 문제의 수준이 너무나 어려워져요. 그리고 이렇게 퍼텐셜이 시간에만 의존한다고 생각했을 때의 슈뢰딩거 방정식을 따로 '시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식(time independent schrodinger equation)'이라고 불러요. (V(x)가 아니라 V(x,t)를 다루는 것은 대학원 수준입니다. 논의의 목적을 해치지 않기 위해 쉽게 하는 겁니다. (사실 저도 풀줄 몰라요...) 이해해주시길 바래요. :) )

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일단 슈뢰딩거 방정식은 이렇게 생겼죠.

그리고 위에서 V가 V(x)로만 표현된다고 가정했어요. 그러면, 이 미분 방정식은 변수 분리법으로 풀 수 있게 되요. 변수 분리법으로 푼다고해서 특수한 경우에만 만족하는 해가 아니에요. 다시 말하면, 변수 분리법으로 푼 해는 이 미분 방정식에 대해 존재성(existence)와 유일성(uniqueness)를 갖는 해에요. (자세한 내용은 구글에 '열 방정식에 대한 푸리에의 풀이'를 찾아보면 정말 좋을거에요.) 즉, 이 해 뿐이라는거죠. 그러면 변수 분리법으로 이 미분 방정식을 풀어보면 다음과 같이 2개의 식을 얻어요.

여기서 E는 상수입니다. 왜 변수분리법으로 풀었을 때 상수일 수 밖에 없는지는 공부해보시길 바랄게요. 모르시면 또 질문해주세요. 그리고 E>V_min일 수 밖에 없는 이유는 고전적으로 생각하시는 그 이유 때문입니다.

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그리고 기가막히게 상수 E는 우리가 아는 그 에너지입니다. 즉, 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 풀었을 때 식 2개를 얻는데, x에 대한 식을 볼게요.

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이 식을 보면 무엇인가 떠오르지 않으세요? 바로 에너지 보존 법칙이에요.

즉, 이 항이 바로 운동에너지가 되어야 하는거죠. 그리고 양자역학에서는 어떤 관측 가능한 물리량 p는 파동함수에 연산자 p_hat를 취하는 형태로 표현해요. 아마 다음 식을 보면 이해를 할 수 있을거에요.

로 쓸 수 있는거죠. 그리고 양자역학에서 운동량 연산자 p_hat는

이에요. 이 식을 위에서 표현한 T에 대입하면 왜 두 번 미분하는것으로 표현되는지 알 수 있어요.

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여기서 궁금해야하는게 한 가지 더 있어요. 그렇다면 시간에 의존하는 경우는 어떨까요? 앞에서 말했을 때 시간에 무관한 퍼텐셜을 갖는다고해도 논의의 초점을 흐리지 않는다고 이야기했었죠. 물론이에요. 그러나, 퍼텐셜이 시간에 따라 변한다면 식이 아예 달라질텐데 이 경우는 어떨까요? 한번 고민해보시길 바랄게요.

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도움되셨길 바랄게요. ^ㅡ^

슈뢰딩거 방정식에서 파동함수를 두 번 미분하는 항은 운동에너지 항입니다.

양자역학에서 선운동량을 대표하는 연산자는 -i hbar d/dx 이어요. 선운동량을 할려면 파동함수에 이 연산자를 적용합니다. 운동에너지는 선운동량을 두 번 적용한 뒤 질량이 두 배로 나누어 얻어서 슈뢰딩거 방정식에 파동함수를 두 번 미분하는 항이 생긴 것이어요.

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슈뢰딩거 방정식을 얻는 과정에 대해 더 자세히 알고 싶으면 다음 강의를 들어보세요.

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