고유진동수와 고유벡터 유사성
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고유진동수와 고유벡터 유사성
익명 작성일 -
진동현상은 물체가 가지는 에너지가 탄성에너지 형태에서 운동에너지로 반복적으로 변환하는 현상입니다. 탄성에너지가 최대가 되는 때는 운동에너지가 최소가 되고 또 반대로도 되는 현상이지요.
이 현상에 관련되는 물리량은 질량과 강성입니다. 그래서 진동 시 고유진동수는
고유진동수 = sqrt(k/m) 단위는 radian
의 형태로 나타납니다. 강성이 관성력의 크기인 질량보다 크면 고유진동수는 크게 나타나고, 물리적으로는 진동현상이 더 빠르게 나타나는 것을 의미합니다. 에너지 변환이 빨리 이뤄지는 것입니다.
이렇게 표현할 수 있는 것은 물체에서 질량이 하나이고 탄성을 만드는 부분이 별도로 있는 경우입니다.
이런 그림 많이 보셨죠. 흔히들 1자유도계라고 하는 진동시스템입니다.
사실 이것은 가상의 진동시스템입니다. 질량과 스프링이 이렇게 완벽하게 분리되어 있는 경우는 없습니다. 스프링도 질량이 있고, 질량부도 강성이 있습니다.
그래서 실제 진동계는 다자유도계(질량이 여러개, 탄성력을 가지는 부분도 여기 저기)이고 보다 정확하게는 질량이 무한대, 탄성도 무한대 개수(이런 것을 연속체라고 합니다.)로 표현하는 것이 맞습니다.
이런 진동시스템을 분석할 때 무한대라고 보면 해석이 불가능하니 움직임을 잘 표현할 수 있는 다자유도계라고 보고 해석합니다. 다자유도계에서는 질량이 여러개, 스프링도 여러개가 됩니다.
그 중에서 가장 단순한 2자유도계는 아래의 그림과 같은 경우이고 운동방정식도 아래의 형태가 됩니다.
(아래 그림, 수식은 구글에서 대충 가져온 것이니 그냥 예라고 보세요. 그림과 수식이 서로 맞지도 않습니다)
위의 사례에서 질량이 두개이니 이 질량이 따로 움직입니다. 매 순간 동적인 평형(탄성력=관성력)을 이뤄야 하니 두 질량이 제멋대로 움직이지는 않습니다. 이 동적인 평형을 이루려면 질량이 움직이는 방식에는 일종의 패턴이 있게 됩니다. 예로 두 질량이 같은 방향으로 움직인다. 두 질량이 서로 반대방향으로 움직인다.
이렇게 움직이는 패턴이 "고유벡터'입니다. 그리고 움직이는 패턴이 다르면 붙어있는 스프링에 의한 탄성력이 다르게 작용하고, 결과적으로 질량이 움직이는 속도가 달라집니다. 이 속도의 크기를 나타내는 것이 고유진동수입니다.
다자유도계에서 고유진동수는 1 자유도계와 달리 복잡하게 되지만, 역시 강성과 질량의 비율로 표현됩니다. 그리고 실제 움직임은 이 기본 패턴의 조합으로 나타납니다. (수학적으로는 기본패턴을 고유벡터라고 하고, 고유벡터는 서로 직교하고 이 고유벡터의 linear combination으로 진동의 모든 움직임을 표현할 수 있다고 하지요)
정리하면
고유벡터는 다자유도계 진동시스템에서 진동하는 모양의 가장 기본적인 형태
고유진동수는 해당 고유벡터로 진동할 때 진동의 빠르기를 나타내는 지표.
* 고등학생이 이런 질문을 해서 조금은 놀랐습니다. 제가 고등학교땐 상상도 못할 질문이었네요.
* 나름 수식 없이 개념적으로 설명하려 했습니다.
* 고유벡터에 관심을 갖는 학생이면 찬찬히 읽어서 이해할 수 있지 않을까 생각합니다.
이 현상에 관련되는 물리량은 질량과 강성입니다. 그래서 진동 시 고유진동수는
고유진동수 = sqrt(k/m) 단위는 radian
의 형태로 나타납니다. 강성이 관성력의 크기인 질량보다 크면 고유진동수는 크게 나타나고, 물리적으로는 진동현상이 더 빠르게 나타나는 것을 의미합니다. 에너지 변환이 빨리 이뤄지는 것입니다.
이렇게 표현할 수 있는 것은 물체에서 질량이 하나이고 탄성을 만드는 부분이 별도로 있는 경우입니다.
이런 그림 많이 보셨죠. 흔히들 1자유도계라고 하는 진동시스템입니다.
사실 이것은 가상의 진동시스템입니다. 질량과 스프링이 이렇게 완벽하게 분리되어 있는 경우는 없습니다. 스프링도 질량이 있고, 질량부도 강성이 있습니다.
그래서 실제 진동계는 다자유도계(질량이 여러개, 탄성력을 가지는 부분도 여기 저기)이고 보다 정확하게는 질량이 무한대, 탄성도 무한대 개수(이런 것을 연속체라고 합니다.)로 표현하는 것이 맞습니다.
이런 진동시스템을 분석할 때 무한대라고 보면 해석이 불가능하니 움직임을 잘 표현할 수 있는 다자유도계라고 보고 해석합니다. 다자유도계에서는 질량이 여러개, 스프링도 여러개가 됩니다.
그 중에서 가장 단순한 2자유도계는 아래의 그림과 같은 경우이고 운동방정식도 아래의 형태가 됩니다.
(아래 그림, 수식은 구글에서 대충 가져온 것이니 그냥 예라고 보세요. 그림과 수식이 서로 맞지도 않습니다)
위의 사례에서 질량이 두개이니 이 질량이 따로 움직입니다. 매 순간 동적인 평형(탄성력=관성력)을 이뤄야 하니 두 질량이 제멋대로 움직이지는 않습니다. 이 동적인 평형을 이루려면 질량이 움직이는 방식에는 일종의 패턴이 있게 됩니다. 예로 두 질량이 같은 방향으로 움직인다. 두 질량이 서로 반대방향으로 움직인다.
이렇게 움직이는 패턴이 "고유벡터'입니다. 그리고 움직이는 패턴이 다르면 붙어있는 스프링에 의한 탄성력이 다르게 작용하고, 결과적으로 질량이 움직이는 속도가 달라집니다. 이 속도의 크기를 나타내는 것이 고유진동수입니다.
다자유도계에서 고유진동수는 1 자유도계와 달리 복잡하게 되지만, 역시 강성과 질량의 비율로 표현됩니다. 그리고 실제 움직임은 이 기본 패턴의 조합으로 나타납니다. (수학적으로는 기본패턴을 고유벡터라고 하고, 고유벡터는 서로 직교하고 이 고유벡터의 linear combination으로 진동의 모든 움직임을 표현할 수 있다고 하지요)
정리하면
고유벡터는 다자유도계 진동시스템에서 진동하는 모양의 가장 기본적인 형태
고유진동수는 해당 고유벡터로 진동할 때 진동의 빠르기를 나타내는 지표.
* 고등학생이 이런 질문을 해서 조금은 놀랐습니다. 제가 고등학교땐 상상도 못할 질문이었네요.
* 나름 수식 없이 개념적으로 설명하려 했습니다.
* 고유벡터에 관심을 갖는 학생이면 찬찬히 읽어서 이해할 수 있지 않을까 생각합니다.
익명 작성일 -
흠...
안녕하세요. 대학 때려친 물리학도 Cloudy 입니다.
일단, 제가 알기로 고유진동수와 고유벡터가 무슨 관련인지 아마 없는걸로 압니다. 이름이 둘다 "고유" 들어가는거 빼고 딱히 뭔가 관계 있는거 같지 않네요. 아니면 사실 고유진동수를 고유벡터로 푸나... 하여간,
고유진동수란, 어떠한 물체--대부분 고체--가 가지고 있는 하나의 고유한 진동수입니다. 이게 재밌는 실험이 있죠. 당장 해 보세요.
1. 동네 놀이터에 갑니다.
2. 동네 초딩/중딩/양아치를 일단 패든 갈구든 해서 갖다 버립니다.
3. 그네를 밉니다.
4. 그네를 밀고, 그게 돌아오고 다시 앞으로 움직이기 직전!
5. 그네를 푸쉬---!! 대시!!! 아자 스모!!
6. ???
7. 고유진동수!
아니 진짜로 고유진동수는 아니고(...) 그네가 앞으로 가기 직전에 밀면 이제 그네가 더 멀리 가죠. 그리고 또 돌아오고 앞으로 가기 전 또 밀면 또 멀리 가죠. 당연한 물리죠. 이게 그네가 돌아올때 밀면 당연히 멈추고, 앞으로 가는데 밀어주면 더 멀리 가는 겁니다. 이건 누구도 저항할수 없는 물리죠. 헌데, 이게 좀 재밌습니다. 이게 앞으로 밀어주는게 한번, 두번, 세번, 하다보면 패턴이 생깁니다. 이상하게도, 딱 똑같은 시간마다 한번, 두번, 세번 밀어주면 되는겁니다. 아니 이런 신기할때가. 그네가 위로 갔다가 돌아오는 시간이 1초라면, 밀어주고 또 돌아오는데 1초, 또 밀어주도 또 돌아오는데 1초. 그런식이죠.
이런걸 고유 진동수라고 합니다. 즉, 그네를 밀고 밀고 하는게 어느 시간마다 하면 계속 멀리, 멀리 간다. 라는 소리죠. 이외에도, 조금 무서운 실험이 있습니다. 이게, 이론적으로는, 그리고 실제로도, 아무리 조그만 힘이라도 이렇게 계속 고유진동수 맞춰서 밀어주면 고체로 만들어진 물건은 버틸수가 업따! 하고 무너지게 됩니다.
1. 튼튼한 강 위에 지어진 다리를 물색한다.
2. 거기에 다리의 고유진동수를 찾아낸다. 어떻게 할지는 알아서.
3. 그럼 이제 그 다리에 진동하는 물건을 고유진동수 맞춰서 계속 흔들리게 한다. 위 아래로.
4. ???
5. PROFIT! 은 개뿔이 다리 무너지고 닌 이제 감방행.
헌데, 고유벡터란건 조금 다릅니다. 이걸 영어로 "EigenVector" 라고 부릅니다. "Eigen" 은...뭐냐...뭐더라...독일어??? 하튼 "고유" 라는 소리고, "Vector" 라는건 "벡터" 라고 부르는 수학적 물건입니다. 벡터란, 스칼라 값과 방향이 있는 물건으로, 쉽게 말해 제가 지금 당장 "난 지금 너를 향해 초속 1cm 로 달려가고 있어~ 오오~" 하고 있으면 이건 "스칼라 값". 즉, "ㅇㅇ 그래 너가 존나 달팽이 마냥 기어오는건 알겠어. 근데 어느 방향으로? 나? 아니면 저 년 저기 예쁜 여자애? 저 새끼 여자애 같이 귀여운 남자애?" 라는 소리죠.
여기서 스칼라 값은 "초속 1cm". 스칼라, 즉 숫자값. 여기서 저는 예쁘장한 남자애가 좋으므로 ANG? 거기로 달려가므로 이제 내 방향은 "저 남자애 한테". 그렇다면 내가 가고 있는 속도 벡터는? "초속 1cm 로 예쁘장한 남자애를 향해서".
그런걸 벡터라고 하는데, 이게 벡터가 참 복잡한 물건입니다. 그냥 화살표 찍찍 그으면 될거 같은데, 이게 하나하나 정말 복잡한 물건이고 이런거 고등학생한테 설명하면 헷갈려서 되려 나중에 대학교에서 고생하므로 그냥 좀 냅두고,
이렇게 화살표 찍찍 긋다보면, 이 화살표들이 어디로 "향하는지" 를 고유벡터라고 칭합니다. 아니 이게 좀 쉽게 말한거니 그대로 듣지 마시고(...) 지금 당장 그림을 그려 보시길.
1. 그림을 그린다. 예쁜 남자애 그리면 더더욱 좋다.
2. 그 그림을 한번 대각선으로 기울여 본다. 컴퓨터로.
3. 그럼 이 그림은 기울어져 있는데 수평 방향은 멀쩡.
4. ?????
5. 수평 방향은 안 변했음! 그러니 수평 벡터는 고유 벡터!! 우리 수평의 고유 벡터는 세계제이이일!!
...한다는 겁니다. 물론 그 그림을 이제 위 아래로 기울여 늘리면 이제 고유 벡터는 세로 방향이 되겠지요.
그런겁니다. 그러니 고유진동수와 고유벡터가 무슨 유사성이 있는지는 잘 모르겠네요. 무슨 다리가 고유진동수에 맞춰 진동을 하기 시작하는데... 어... 고유한 벡터 방향의 힘을 받나?? 잘 모르겠습니다.
하여간 대충 이렇습니다.
안녕하세요. 대학 때려친 물리학도 Cloudy 입니다.
일단, 제가 알기로 고유진동수와 고유벡터가 무슨 관련인지 아마 없는걸로 압니다. 이름이 둘다 "고유" 들어가는거 빼고 딱히 뭔가 관계 있는거 같지 않네요. 아니면 사실 고유진동수를 고유벡터로 푸나... 하여간,
고유진동수란, 어떠한 물체--대부분 고체--가 가지고 있는 하나의 고유한 진동수입니다. 이게 재밌는 실험이 있죠. 당장 해 보세요.
1. 동네 놀이터에 갑니다.2. 동네 초딩/중딩/양아치를 일단 패든 갈구든 해서 갖다 버립니다.3. 그네를 밉니다.4. 그네를 밀고, 그게 돌아오고 다시 앞으로 움직이기 직전!5. 그네를 푸쉬---!! 대시!!! 아자 스모!!6. ???7. 고유진동수!
아니 진짜로 고유진동수는 아니고(...) 그네가 앞으로 가기 직전에 밀면 이제 그네가 더 멀리 가죠. 그리고 또 돌아오고 앞으로 가기 전 또 밀면 또 멀리 가죠. 당연한 물리죠. 이게 그네가 돌아올때 밀면 당연히 멈추고, 앞으로 가는데 밀어주면 더 멀리 가는 겁니다. 이건 누구도 저항할수 없는 물리죠. 헌데, 이게 좀 재밌습니다. 이게 앞으로 밀어주는게 한번, 두번, 세번, 하다보면 패턴이 생깁니다. 이상하게도, 딱 똑같은 시간마다 한번, 두번, 세번 밀어주면 되는겁니다. 아니 이런 신기할때가. 그네가 위로 갔다가 돌아오는 시간이 1초라면, 밀어주고 또 돌아오는데 1초, 또 밀어주도 또 돌아오는데 1초. 그런식이죠.
이런걸 고유 진동수라고 합니다. 즉, 그네를 밀고 밀고 하는게 어느 시간마다 하면 계속 멀리, 멀리 간다. 라는 소리죠. 이외에도, 조금 무서운 실험이 있습니다. 이게, 이론적으로는, 그리고 실제로도, 아무리 조그만 힘이라도 이렇게 계속 고유진동수 맞춰서 밀어주면 고체로 만들어진 물건은 버틸수가 업따! 하고 무너지게 됩니다.
이런걸 고유 진동수라고 합니다. 즉, 그네를 밀고 밀고 하는게 어느 시간마다 하면 계속 멀리, 멀리 간다. 라는 소리죠. 이외에도, 조금 무서운 실험이 있습니다. 이게, 이론적으로는, 그리고 실제로도, 아무리 조그만 힘이라도 이렇게 계속 고유진동수 맞춰서 밀어주면 고체로 만들어진 물건은 버틸수가 업따! 하고 무너지게 됩니다.
1. 튼튼한 강 위에 지어진 다리를 물색한다.2. 거기에 다리의 고유진동수를 찾아낸다. 어떻게 할지는 알아서.3. 그럼 이제 그 다리에 진동하는 물건을 고유진동수 맞춰서 계속 흔들리게 한다. 위 아래로.4. ???5. PROFIT! 은 개뿔이 다리 무너지고 닌 이제 감방행.
헌데, 고유벡터란건 조금 다릅니다. 이걸 영어로 "EigenVector" 라고 부릅니다. "Eigen" 은...뭐냐...뭐더라...독일어??? 하튼 "고유" 라는 소리고, "Vector" 라는건 "벡터" 라고 부르는 수학적 물건입니다. 벡터란, 스칼라 값과 방향이 있는 물건으로, 쉽게 말해 제가 지금 당장 "난 지금 너를 향해 초속 1cm 로 달려가고 있어~ 오오~" 하고 있으면 이건 "스칼라 값". 즉, "ㅇㅇ 그래 너가 존나 달팽이 마냥 기어오는건 알겠어. 근데 어느 방향으로? 나? 아니면 저 년 저기 예쁜 여자애? 저 새끼 여자애 같이 귀여운 남자애?" 라는 소리죠.
여기서 스칼라 값은 "초속 1cm". 스칼라, 즉 숫자값. 여기서 저는 예쁘장한 남자애가 좋으므로 ANG? 거기로 달려가므로 이제 내 방향은 "저 남자애 한테". 그렇다면 내가 가고 있는 속도 벡터는? "초속 1cm 로 예쁘장한 남자애를 향해서".
그런걸 벡터라고 하는데, 이게 벡터가 참 복잡한 물건입니다. 그냥 화살표 찍찍 그으면 될거 같은데, 이게 하나하나 정말 복잡한 물건이고 이런거 고등학생한테 설명하면 헷갈려서 되려 나중에 대학교에서 고생하므로 그냥 좀 냅두고,
이렇게 화살표 찍찍 긋다보면, 이 화살표들이 어디로 "향하는지" 를 고유벡터라고 칭합니다. 아니 이게 좀 쉽게 말한거니 그대로 듣지 마시고(...) 지금 당장 그림을 그려 보시길.
1. 그림을 그린다. 예쁜 남자애 그리면 더더욱 좋다.2. 그 그림을 한번 대각선으로 기울여 본다. 컴퓨터로.3. 그럼 이 그림은 기울어져 있는데 수평 방향은 멀쩡.4. ?????5. 수평 방향은 안 변했음! 그러니 수평 벡터는 고유 벡터!! 우리 수평의 고유 벡터는 세계제이이일!!
...한다는 겁니다. 물론 그 그림을 이제 위 아래로 기울여 늘리면 이제 고유 벡터는 세로 방향이 되겠지요.
그런겁니다. 그러니 고유진동수와 고유벡터가 무슨 유사성이 있는지는 잘 모르겠네요. 무슨 다리가 고유진동수에 맞춰 진동을 하기 시작하는데... 어... 고유한 벡터 방향의 힘을 받나?? 잘 모르겠습니다.
하여간 대충 이렇습니다.
고유진동수와 고유벡터 유사성
고유진동수와 고유벡터에는 어떻게 유사성이있나요 다르다면 어떻게다른가요 고등학생이니 좀 쉽게 알려주십쇼ㅜㅜ 진동현상은 물체가 가지는 에너지가 탄성에너지...
고유벡터관련 질문좀요
... 2개의 고유벡터를 보고도 충분히 해석가능한데 (어떤 진동수에서는 어떤방식으로 운동한다는 해석이 가능) 굳이 2개의 고유벡터를 수직하게 얻어야 하는 이유가 뭔가요?...
고유진동수와 기본진동수의 차이
고유진동수와 기본진동수의 차이가 뭔가요~? 고유진동수는 이름에서도 알수 있듯이... 이에 반해 기본진동수는 크기가 1인 진동수입니다. 우리가 벡터에서 크기가 1인 벡터를...
인공지능에서 벡터의 활용
... Dot Produc t: 두 벡터의 유사성을 측정하거나 벡터의 크기와 방향을 분석하는 데... 고윳값과 고유벡터 (Eigenvalues and Eigenvectors): 고윳값과 고유벡터는 선형 변환에서...
기계진동 모드
... 고유벡터엿나? 모드가 가지는 움직임 측면에서 의의가 무엇인가요? 고유진동수도 아니고 어떤 의미를 가지는지 감이 안옵니다. 고유모드(수학적인 용어로는 고유벡터)는...
(물리1)광전효과가 왜 빛의 입자성의...
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[선형 대수] 용.수.철 문제
... 고유값을 구하면 다음과 같다. 따라서 고유진동수는 다음과 같다. 고유벡터를 구하면 다음과 같다. 또, 2. 운동방정식은 다음과 같다. 마찬가지 방법으로 구할 수 있다. .. ..
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소용돌이의 원리는?
... 본문 수학적으로는 소용돌이도(유체의 속도벡터 v의 로테이션, 즉 rot v)가 0이 아닌... 물체 고유진동수가 1초간 소용돌이 발생수와 일치할 때에는 비정상적으로 큰 힘이...
EJU에 관한 질문입니다.
... 벡터 (1) 평면벡터와 공간벡터(벡터의 덧셈,뺄샘... 진폭, 진동수와 주기, 가속도, 에너지, 반진자, 단진자)... 기주의 고유진동, 기주의 공명과 공진, 도플러의 효과) (4)...