엔트로피에 대해서 좀 알고 싶습니다

그러나 과학자들은 곧 열이 에너지의 한 형태라는 것을 밝혀낸 것은 열에 대한 이해의 시작에 불과하다는 것을 알게 되었다. 열은 에너지이므로 높은 온도에서 낮은 온도로 흘러간다고 해도 총량은 변하지 않는다. 100℃의 물체가 가지고 있던 100cal의 열량이 0℃의 물체로 흘러가도 열량은 100cal 그대로 유지된다. 온도가 낮아진다는 것은 열 에너지가 없어지는 것이 아니라 넓게 퍼지는 것이다. 열도 에너지의 일종이고 총량이 변하지 않는 것이라면 낮은 온도의 물체에서 높은 온도의 물체로도 흘러갈 수 있어야 한다. 하지만 열은 높은 온도에서 낮은 온도로만 흐를 뿐 낮은 온도에서 높은 온도로 흐르지는 않는다. 이것은 에너지보존법칙으로는 설명할 수 없는 현상이었다.

그 뿐만이 아니다. 운동에너지는 쉽게 모두 열에너지로 바꿀 수 있다. 예를 들어 달리던 물체에 마찰력이 작용하면 물체가 가지고 있던 운동에너지는 모두 열에너지로 바뀌고 물체는 정지한다. 그러나 이상하게도 열에너지는 일부만 운동에너지로 바꿀 수 있을 뿐이다. 운동에너지와 열에너지는 모두 에너지인데 왜 열에너지는 일부만 운동에너지로 변환되는 것일까? 많은 과학자들은 이런 현상을 설명하려고 여러 가지로 노력했지만 성공하지 못했다. 

운동에너지는 100% 열에너지로 바꿀 수 있지만 열에너지는 100% 운동에너지로 바꿀 수 없다는 것은 열이 높은 온도에서 낮은 온도로만 흘러간다는 것과 같은 내용이라는 것을 알게 되어 이것도 열역학 제2법칙에 포함되었다.

 
1865년 클라우지우스는 열역학 제2법칙을 포괄적으로 설명하기 위해 엔트로피라고 부르는 새로운 물리량을 제안했다. 클라우지우스가 제안한 엔트로피(S)는 열량(Q)을 온도(T)로 나눈 양(S= Q/T)이었다. 열량이란 물체가 가지고 있는 열에너지를 말한다. 따라서 열에너지를 제외한 다른 에너지의 엔트로피는 열량이 없으므로 0이다. 그리고 열에너지의 엔트로피는 온도에 따라 달라지는 양이 되었다. 높은 온도에 있던 열이 낮은 온도로 흘러가면 열량은 변하지 않더라도 분모에 있는 온도가 작아지므로 엔트로피는 증가한다. 엔트로피가 0인 운동에너지가 열에너지로 바뀌는 경우에는 없던 열량이 생겨나므로 엔트로피는 증가하게 된다. 따라서 열역학 제2법칙은 이제 엔트로피 증가의 법칙이라고 부를 수 있게 되었다.

그러나 열량을 온도로 나눈 양인 엔트로피가 증가해야만 하는 이유를 납득할 수 있도록 설명하는 것은 쉬운 일이 아니었다. 그렇게 하기 위해서는 엔트로피가 무엇을 의미하는지 좀 더 깊이 이해해야 되었다. 이 일을 해낸 사람이 오스트리아의 물리학자 볼츠만(Ludwig Eduard Boltzmann, 1844~1906)이었다. 볼츠만은 엔트로피를 확률적인 방법으로 새롭게 정의하여 엔트로피에 대한 이해를 깊게 했고, 물리학에서 엔트로피가 차지하는 위상을 한 단계 끌어 올렸다. 볼츠만이 새롭게 제시한 엔트로피를 설명하기 위해서는 확률 이야기를 조금 해야 된다. 교실에 안경을 낀 학생 20명과 안 낀 학생이 20명 있다고 가정하자. 이 때 마음대로 자리에 앉으라고 하면 안경을 낀 학생과 안 낀 학생이 마구 잡이로 섞여 앉아 있을 가능성을 A라고 하자. 그리고 한 편에는 안경 낀 학생, 다른 한편에는 안 낀 학생만 앉아 있을 가능성을 B라고 하자. A가 B보다 높은 것은 당연하다. 그것은 섞여 앉는 경우의 수가 따로따로 앉는 경우의 수보다 많아서 그만큼 확률이 높기 때문이다. 따라서 억지로 따로따로 앉도록 해도 시간이 가면 차츰 섞이게 된다.

볼츠만은 점점 섞이는 방향으로 진행되는 것이 자연에서 일어나고 있는 변화의 방향이라는 것을 알게 되었다. 열이 높은 온도에서 낮은 온도로 흐르고, 운동에너지가 열에너지로 바뀌어 가는 것도 자연에서 일어나는 변화의 방향이다. 그렇다면 확률이 높은 상태로 변해가는 변화와, 열이 높은 온도에서 낮은 온도로 흐르는 변화 사이에는 어떤 관계가 있는 것이 아닐까? 섞이고 섞여서 더 이상 섞일 수 없는 상태 즉 확률이 최대인 상태가 되면 더 이상의 변화는 일어나지 않는다. 그리고 높은 온도에서 낮은 온도로 열이 흘러 두 물체의 온도가 같아지면 더 이상 열이 흘러가지 않는다. 따라서 주어진 확률이 최대가 되는 상태와 모든 부분의 온도가 같아지는 것은 같은 상태라고 할 수 있을 것이다.

1877년 볼츠만은 경우의 수(g)에 로그를 붙인 양을 엔트로피라고 새롭게 정의하면 확률이 가장 높은 상태와 온도가 같은 상태를 동시에 나타낼 수 있다는 것을 알게 되었다. 그리고 이 새롭게 정의된 엔트로피와 원래의 엔트로피의 단위를 일치시키기 위해서 볼츠만 상수(k_B)를 도입했다. 새롭게 정의된 엔트로피(S = k_B log g)가 탄생한 것이다. 새롭게 정의한 엔트로피는 열량을 온도로 나눈 예전의 엔트로피를 포함할 수 있을 뿐만 아니라 열과 직접 관계없는 여러 가지 자연현상도 설명할 수 있게 되었다. 그러면, 클라우지우스가 제안했던 엔트로피 증가의 법칙은 새로운 엔트로피로 어떻게 설명할 수 있을까? 그것은 생각보다 간단하다. 새로운 엔트로피가 나타내는 뜻은, 무엇인가가 잘 섞이는 방향으로 변화가 이루어진다는 것이다.

온도가 높은 상태는 물체를 이루는 분자나 원자들이 빠르게 운동하고 있는 상태다. 온도가 낮은 상태는 느리게 운동하고 있는 상태다. 열이 높은 온도에서 낮은 온도로 흘러가는 것은 서로 나누어져 있던 빠르게 운동하는 분자들과 느리게 운동하던 분자들이 섞이는 현상이라고 볼 수 있다. 빠르게 운동하는 원자나 분자들이 느리게 운동하는 원자나 분자와 섞이면 열이 높은 곳에서 낮은 곳으로 흘러간 것처럼 보이게 된다. 운동에너지와 열에너지 사이의 변환도 마찬가지로 설명할 수 있다. 운동에너지는 물체를 이루는 모든 원자들이 한 방향으로 운동하고 있을 때의 에너지이다. 그리고 열에너지는 모든 원자들이 불규칙하게 운동하고 있을 때의 에너지이다. 따라서 운동에너지가 열에너지로 바뀌는 것은 원자들의 운동 방향이 섞이는 것이라고 볼 수 있다.

열의 성질을 설명하기 위해 도입된 엔트로피는 이제 자연에서 일어나는 변화의 방향을 제시하는 중요한 물리량이 되었다. 엔트로피의 등장으로 시간의 흐름에도 새로운 의미를 더할 수 있게 되었다. 우주의 엔트로피는 시간이 흐를수록 증가한다. 따라서 우주 전체의 엔트로피는 과거보다 현재가 더 크다. 자연은 계속 섞여서 확률이 높은 상태로 변해가려고 한다. 하지만 인간은 끊임없이 질서를 만들어내기 위해 노력하고 있다. 복잡한 구조물을 만들어내고, 교육을 통해 인간의 행동을 통일시키고 조직화 하려고 한다. 이것들은 모두 엔트로피를 증가시키려는 자연에서 일어나는 변화와 반대 방향이다. 하지만 인간도 자연의 일부이므로 엔트로피 증가의 법칙에서 예외일 수 없다. 따라서 어떤 부분의 엔트로피를 감소시키면 다른 부분에서 그 보다 더 많은 양의 엔트로피를 증가시켜야만 한다. 인간은 매년 더 많은 에너지를 사용하고 있다. 에너지를 사용할 때마다 엔트로피는 항상 증가한다. 더 많은 에너지를 사용한다는 것은 더 많은 엔트로피가 증가하고 있다는 것이다. 우리가 문명을 향유하면 할수록 우리 주위의 자연은 더 많은 대가를 치르고 있는 것이다.

예를 들어, 새 학기를 맞아 깨끗하게 정리해 둔 책상은 십중팔구 일주일 정도 지나면 금세 어지럽혀질 것이다. 연필꽂이에 가지런히 꽂혀 있던 연필이며 온갖 펜들이 책상 여기저기 나뒹굴고, 줄 맞춰 늘어서 있던 책들도 두어 권쯤 자기 몸을 활짝 펼친 채 책상 위에 널찍하게 자리를 차지하기 일쑤다. 여기에 지우개, 책갈피, 메모지까지 가세하면 우리 책상은 난잡하기 이를 데 없이 ‘무질서해진다.’ 이처럼 어떤 물리계가 이전보다 더 무질서해지면 우리는 그 계의 엔트로피가 증가했다고 말한다.

계의 무질서한 정도를 비교하기 위해서는 취할 수 있는 상태의 수를 비교하면 된다

그렇다면 어떤 계가 무질서한지 아니면 잘 정리되어 있는지를 어떻게 비교할 수 있을까? 한 가지 좋은 방법은 그 계가 취할 수 있는 상태의 수가 얼마나 많은가를 비교하는 것이다. 예를 들어 책상 넓이의 1/10 크기를 가진 연필꽂이 안에 연필 10자루가 들어가 있을 확률은 연필의 길이나 크기를 무시한다면, 아래와 같다.

자그마치 백억 분의 1이 된다. 만약 10자루 중 2자루의 연필이 연필꽂이에서 나와 책상 어딘가에 나뒹굴어 다닐 확률이 앞의 경우보다 3,645배 높다.

여기서 ₁₀C₂는 열 가지에서 두 가지를 고르는 경우의 수를 의미하는 조합 기호이다. 통상적으로 우리는 열 자루가 다 꽂혀 있는 경우를 잘 정돈된 상태로 볼 수 있고 두어 자루가 밖에 나와 있으면 무질서한 상태로 볼 수 있다. 만약 연필 열 자루를 임의로 책상 위에 놓을 때, 열 자루가 다 연필꽂이에 들어갈 확률보다 그렇지 않을 확률이 훨씬 더 높다. 이처럼 두 가지 경우 중에서, 연필이 배치될 수 있는 경우의 수가 큰 쪽을 우리는 ‘더 무질서하다’고 말한다.

경험적으로 보더라도 우리의 책상은 시간이 갈수록 정돈되기보다는 무질서해지는 경향이 무척 강하다. 즉, 시간이 갈수록 우리 책상의 엔트로피는 증가한다. 이렇게 엔트로피가 증가하는 경향은 우리 책상에서만 일어나는 일이 아니라 자연의 근본적인 법칙의 하나이다. 이것이 바로 열역학 제2법칙이다.

열역학 제2법칙 : 고립된 계의 엔트로피는 시간에 따라 결코 감소하지 않는다

얼음이 더운물과 만나 녹는 과정을 생각해 보자. 얼음은 H₂O 분자들이 서로 매우 조밀하게 붙어 있는 상태라 H₂O 분자들이 자리 잡고 있을 경우의 수가 물이 비해 상대적으로 작다. 반면 얼음이 녹아 그 분자들이 컵 속의 여기저기를 돌아다닐 수 있다면, 그때 H₂O 분자가 취할 수 있는 경우의 수는 훨씬 많아진다. 즉 엔트로피가 증가한다. 반대로 미지근한 물이 시간이 지남에 따라 일부는 얼음이 되고 일부는 뜨거운 물이 되는 과정은 마치 연필을 책상 위에 던졌을 때 상당수가 연필꽂이에 들어가는 경우와도 비슷하다. 즉 엔트로피가 줄어드는 반응이다. 열역학 제2법칙에서는 이런 일이 결코 일어나지 않는다고 주장한다.

이와 비슷한 경우로 잉크 방울이 물 속으로 퍼지는 현상이 있다. 잉크 방울이 물에 들어가면 주변 물 분자들과의 끊임없는 충돌을 통해 서로 뒤섞이게 되는데, 아주 좁은 영역에 잉크 분자가 몰려 있을 확률보다 물 전체에 고루 퍼져 있을 확률이 월등하게 높다. 그래서 시간이 충분히 흐르면 물 전체가 흐릿해진다. 하지만 아무리 많은 시간이 흘러도 잉크 분자들이 다시 한데 모여 잉크 방울을 만들지는 못한다. 이는 마치 우리가 비빔밥을 비비는 행위와도 똑같다. 한번 비벼지면, 다시는 원상태로 복원하지 못하는 것처럼.

엔트로피를 줄이기 위해서는 일이라는 대가를 지불해야 한다

열역학 제2법칙은 고립된 계에 한해서 성립하는 법칙이다. 그러니까 고립되지 않은 계에서는 엔트로피가 줄어들 수도 있다. 그러나 여기에는 대가가 필요하다. 어떤 계의 엔트로피를 줄이려면, 외부에서 그 계에 물리적인 ‘일(work)’을 해 줘야만 한다. 물리적인 의미에서 일이란 쉽게 말해서 힘을 통해 에너지를 전달하는 행위라고 할 수 있다. 어지러워진 책상을 정리하려면 우리는 힘을 들여 일해야만 한다. 미지근한 물을 얼음으로 만드는 냉장고는 모터를 돌려 냉매를 순환시키고, 이 냉매가 온도를 낮춰 얼음을 만든다. 물론 이 모든 과정을 하나의 커다란 고립계로 생각한다면 전체 엔트로피는 증가한다. 책상을 힘들여 정리하면 몸에서 열이 나며, 냉장고의 모터가 돌면 역시 열이 난다. 이 과정에서 더 많은 양의 엔트로피가 증가한다.

엔트로피가 증가한다는 것은 어떤 계의 구성상태가 좀 더 높은 확률의 구성상태로 옮겨간다는 것을 뜻한다. 만약 외부에서 어떤 계에 열을 공급해 주면 이 계는 그 열의 일부를 이용해서 자신의 구성상태를 보다 높은 확률의 구성상태로 바꾼다. 그리고 남은 열로 물리적인 일(work)을 한다. 그러니까 엔트로피는 열량 가운데 물리적인 일을 할 수 없는 양을 나타내는 물리량이다.

엔트로피는 또한 숨겨진 정보의 양이라고도 해석할 수 있다. 책상 위의 연필을 다시 생각해 보자. 엔트로피가 아주 낮은 경우, 예컨대 열 자루의 연필이 모두 좁은 연필꽂이에 다 꽂혀 있는 경우에는 우리가 열 자루의 연필의 위치에 대해 상당한 정보를 갖고 있다고 말할 수 있다.

반면 열 자루가 모두 연필꽂이를 벗어나 책상 여기저기에 흩어져 있다면, 앞의 경우에서처럼 연필의 위치를 콕 집어서 말하기 어렵다. 다시 말하자면 엔트로피가 증가하면서 연필의 위치에 대한 정보가 숨겨진 것이다. 물 속에 떨어뜨린 잉크의 예를 들자면 잉크 방울의 정보가 물 속 전체로 퍼져 나가 버린 것과 같다.

블랙홀의 엔트로피도 계속 증가해야 하며, 이 때문에 블랙홀이 증발해버린다는 주장도 있다

열역학에서나 등장하던 엔트로피는 중력에서도 아주 중요한 역할을 한다. 이것은 전적으로 블랙홀 때문이다. 블랙홀은 중력이 극단적으로 강력한 시공간의 영역으로서, 빛조차도 어느 영역(지평선) 안에서는 밖으로 빠져나가지 못한다. 1972년 대학원생이던 제이콥 베켄슈타인은 블랙홀이 엔트로피를 가지며, 열역학 제2법칙을 만족하기 위해서는 블랙홀의 엔트로피가 그 지평선의 넓이에 비례해야 한다고 주장했다.

이 생각은 너무나 혁명적이어서 스티븐 호킹도 처음에는 믿지 않았다. 그러나 호킹은 2년 뒤 수학적으로 더욱 정교하게 베켄슈타인의 주장을 뒷받침했다. 더 나아가 호킹은 블랙홀이 결국에는 증발해 버릴 것이라는 대담한 제안을 하게 되는데, 이렇게 되면 블랙홀로 빠져든 정보가 손실될 것이라고 주장했다. 그러나 정보의 손실은 양자역학적으로 허용되지 않는 현상이라, 이 ‘정보의 역설’을 두고 수십 년 동안 많은 학자가 논쟁을 벌였다. 이 과정에서 (아직 충분하지는 않지만) 중력에 대한 양자역학적인 이해가 또한 깊어지게 되었다.