합성함수 그래프 개형 좀 알려주세요~(내공검)

이차함수라면 식이 나오겠지만 이차함수라는 말이 없으므로

주어진 내용만 가지고 판단을 해야겠네요..

x = 0,1,2일때 f(x)값과 f(f(x))값을 판단해 봅시다.

 

x = 0이면 f(0) = 0, f(f(0)) = f(0) = 0

x = 1이면 f(1) = 2, f(f(1)) = f(2) = 1

x = 2이면 f(2) = 1, f(f(2)) = f(1) = 2

 

값을 그려봅시다. 여기서 생각해봐야 할점은.. f(x)의 그래프가 연속일 거라는 가정하에..

(그래프를 못봐서 모르겠지만 그런 듯 합니다.) f(x)가 0에서 2로 갈때 1이라는 값을 지날 거라는 것이죠..

 

x..........0.........................1............2

f(x)......0...↗....1...↗....2....↘....1

f(f(x)....0...↗....2...↘....1....↗....2

이렇게 됩니다.

 

 

 

만약 이게 아니라면

자세한 f(x)그래프의 개형이 필요합니다.

x..........0.............1............2

f(x)......0...↗.....2....↘....1으로 되어 있으면 좋습니다. 중간에 그래프의 증가, 감소부분을 꼭적어주십시오. 위의 정리는 1이 극대점이라는 가정하에 한 것이니까요..

 

 

 

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추가 내용..

 

아.. 그렇군요.. 위로 볼록, 아래로 볼록이라고 적은 것이 실제로 아래로 내려가느냐, 올라가느냐가 아니라

곡선이 두 점을 연결한 직선보다 아래 쪽에 있느냐 위쪽에 있느냐의 개념을 물으신 것이군요..

 

x가 1에서 2로 갈때 f(x)는 2에서 1로 가는데 아마도 처음에는 완만히 내려가다가 2가 가까와 지면서 급격해지겠죠.. (위로 볼록이겠죠..)

 

f(f(x))는 1에서 2로 가는데.. 이게 어떻게 가느냐 하는 문제죠..

2에서 1로 가니 f(x)의 1,2구간의 그래프를 반전시키면 될 거 아니냐는 의견도 있겠지만

x가 1에서 2로 갈때 f(x)가 2에서 1로 고대로 가는 것이 아니라 곡선을 그리기 때문에 문제입니다.

 

쩝...

 

해 보신대로 이차함수의 예를 들어서 해 보겠습니다.

예를 위해서이니 문제의 예를 평행이동 시킨

(1,0),(0,1)을 지나는 f(x) = -x²+1의 [0,1]구간을 보겠습니다.

위 구간에서 위로 볼록합니다.

f(f(x)) = -(-x²+1)²+1 = -x⁴+2x² ...............-x²(x²+2)의 그래프이니 헤깔리는군요..

이것을 미분하면 -x³+4x..... -x(x²+4)입니다.

재 미분하면 -3x²+4로

이것을 0으로 놓으면

-3x²+4 = 0

x² = 4/3... 하튼 제곱값이 1보다 크므로 x값의 절대값도 1보다 큽니다.

즉 변곡점은 0,1 범위 밖입니다.

그 변곡점을 a라고 하면

x..........................0...............1............a

f''(f(x)) ...............1.......+......1.......+....0

f'(f(x))................↗.....↗....↗....↗...-

즉... f(f(x))는 [0,1] 범위에서 그래프의 기울기는 계속상승합니다.

따라서 아래로 볼록인 꼴이 나옵니다.

 

물론 이것은 제가 예로 든 경우입니다.

 

 

항상 저렇게 나올지는 예측을 못하겠습니다만.. 아래로 볼록인 예는 들수 있군요..

 

 

문제에서의 f(x)의 예를 찾아볼까요..

우선 f(x)는 1에서 극대값2를 가지므로

f(x)-2는 x = 1일때 x축에 접합니다.

즉.. f(x)-2는 (x-1)²으로 나뉩니다.

이차식으로 예를 들면 f(2) = f(0) 이 되므로 불가하고

3차식으로 해 보죠..

f(x)-2 = (x-1)²(ax+b)라고 하면

f(0)-2 = -2, f(2)-2 = -1이므로

f(0)-2 = b = -2

f(2)-2 = 2a+b = -1

b = -2, a = 1/2입니다.

 

즉.. f(x) = (1/2)(x-4)(x-1)²+2 일때 문제의 그래프와 같은 모양을 가집니다.

 

f(f(x))를 구하려면.. 전개해서 대입해야 할 듯합니다.

시간이 되신다면 f(f(x))의 값을 구하셔서

이중미분하여 곡선의 유형을 추측해보시기 바랍니다.