수학문제

1. 서기 1년부터 1996년까지의 5의 배수 또는 3의 배수가 되는 년도의 집합을

Y={a1,a2,a3...an}이라고 할때, 집합 Y의 원소의 총합을 구하지오.

 

우선 5의배수인 원소를 생각해보면 5.10,15,....1995까지 되겠네요

이것들의 합은 등차수열의 합공식을 쓰면 됩니다. (a+l)*n / 2

 

                  5      10       15    .....      1995

  +        1995   1990   1985    .....           5

-------------------------------------------------

             2000   2000   2000   ......     2000

 

2000이 되는 갯수가 399개 그런데 5에서 1995까지 두번더했으니깐 나누기 2하면

399000 이겠네요.

 

그리고 3의 배수인 원소를 생각해보면 3,6,9,......1995 까지 되겠네요

마찬가지로 등차수열의 합공식을 생각하면 1998*665 /2 = 664335 이네요

그럼 원소의 합은 399000 + 664335 = 1063335 인데

 

3의배수이면서 동시에 5의배수인 15의 배수는 두번씩 더했으니깐 1번씩 빼주면

15 30 45 .......  1995   이것들의 합은 2010 * 133 / 2 = 133665

 

그러므로 5의 배수의 원소의 합 + 3의 배수의 원소의 합 - 15의 배수의 원소의 합

399000 + 664335 - 133665 = 929670

 

929670 가 원소의 총합이겠네요.

 

 

2. a,b,c가 서로소인 앙의 정수일때, 다음 일차 방정식의 해를 구하시오.

a분의 x-b-c+ b분의 x-c-a + c분의 x-a-b  =3(분수꼴임)

 

우선 문제를 정확히 이해 못하겠는데요..

 

    x-a-b

------------------

     x-c-a+c

------------------     = 3 을 말씀하시는건지.... 정확한 문제를 올려주세요 ㅎㅎ

    x-b-c+b

   -----------   

        a

 

 

3. 모서리의 개수가 24개이고 면의 개수가 12개인 도넛과 연결 상태가 같은 입체 도형의 꼭지점의  개수는 a개이다. 또 모서리의 개수가 14개이고 꼭지점의 개수가 8개인 구와 연결 상태가 같은 다면체의 면의 개수는 b개이다. 이 때, 직선 Y=b분의a곱하기x-a분의 b와 x축과의 교점의 좌표를 (C,0)이라고 할때, C의 값을 구하여라.

그냥 우선 간단히 생각해보면

직선과 X축과는 교점을 구하는것이므로 식을 정리하면

C는 a제곱 분에 b제곱을 구하는거네요..

 

근데 중간에 말이 안되는게 꼭지점의갯수가 8개인데 모서리가 어떻게 14개 나오면서

구와같은 연결상태를 가질수있죠?? 불가능한것 같은데 오일러의 공식을 이용해서 풀라는거 같은데 그런 도형이 존재가능한가요??불가능하다고 보는데 (아시는분 답변부탁..-_-;)

 

 

4. 양의 정수를 원소로 하는 두 집합이 있다.

M={a1,a2,a3...a6}, N={a1+d+a2+d+a3+d,a4+d,a5+d+a6+d}

M교집합N={4,79}이고 M에 속하는 정수의 합이 32, MUN에 속하는 정수의 합이 62일때, 집합M,N을 구하여라

 

이것도 문제를 잘못적으셨네요..

교집합의 원소 한개가 79인데 어떻게 M과N의 합집합의 원소의 합이 62밖에 안하는지..

 

대충 푸는 방법대로 푼다면

 

(집합 M의 원소의 합)과 (집합 N의 원소의 합) 을 더하면 62+ 4+79 = 145 

  (a1+a2+a3+a4+a5+a6)    +  (a1+a2+a3+a4+a5+a6+6d) = 145

              32                           +                   32 +6d         =145

 

64 +6d=145

6d=81   d=13.5 모순 양의 정수를 원소로 하는 집합이 아님.

 

 

 

5. 층계 수가 모두 10개인 계단을 오르는 경우의 수를 구하시오. 단, 층계는 한 걸음에 한 계단씩, 또는 한걸음에 두 계단씩, 또는 한 걸음에 세 계단씩 올라갈 수 있다고 한다.

 

1a+2b+3c = 10 (단 a,b,c는 0이거나 양수임)의 해집합의 갯수를 구하면 됩니다.

우선 c는 3보다 클수 없습니다. 다시말해 c는 0,1,2,3 외에는 될수 없습니다.

해집합(a,b,c)에서

 

c가 3일경우 해집합 (1,0,3)

c가 2일경우 해집합 (0,2,2) (2,1,2) (4,0,2)

c가 1일경우 a+2b=7을 푸는것과 마찬가지이므로 b는 3보다 클수 없습니다.

                              (1,3,1) (3,2,1) (5,1,1) (7,0,1)

c가 0일경우 b는 5보다 클수 없습니다.

                              (0,5,0) (2,4,0) (4,3,0) (6,2,0) (8,1,0) (10,0,0)

 

그러므로 가능한 가지수는 총 14개

 

 

6. 사각형의 변의 중점을 차례대로 이어서 생기는 도형은 평행사변형이고 그 넓이는 원래 사각형의 넓이의 2분의 1임을 증명하시오

 

이거는 잘 모르겠네요...생각해보고 내용추가요..^^;;;

 

 

7. 어떤 자연수가 있다. 이것을 7로 나누면 나머지가 2이고, 5로 나누면 나머지가 3이된다. 이 중 최소의 자연수를 구하시오.

어떤 자연수 X

X = 7Q + 2

   =  5P + 3

 

7Q+2 = 5P +3

7Q = 5P +1

 

다시말해서 7의 배수중에서 5의 배수 더하기 1인 가장 작은수가 7Q이다.

7,14,21,28,35,42,49......

 

위의 숫자들 중에 5의배수 +1 인것은 21 즉 Q=3

우리가 찾는 어떤 자연수 X = 21+2 = 23

 

 

8. 부정방정식 3x+5y+28의 양의 정수해를 구하시오.

이것도 문제가 틀린듯 한데 3x+5y =28 이면 구할수 있지만

문제와 같은 식이라면 구할수 없습니다.