e^x*cosx테일러급수 전개좀 해주세요
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e^x*cosx테일러급수 전개좀 해주세요
익명 작성일 -
x=0에서의 테일러 전개를 말씀하신 걸로 알고 풀겠습니다.
f(x) = e^x cos x 라 놓고 n 계도함수를 구하여야 하나, 편법이 있습니다.
(엄밀히 말하면 편법이 아니고, 미적분학에서 엄밀히 증명된 방법이죠.)
e^x 의 테일러 전개는
e^x = 1+ x+ x^2/ 2 + x^3 / 6 + .....
cosx = 1- x^2 /2 + x^4 /4! - x^6/ 6! +... 이죠?
이걸 곱하는 겁니다.
e^x cosx
= ( 1+x + x^2 /2 + x^3 /6 + ...) ( 1- x^2 /2 + x^4/4 + ... )
그러면 상수항은 1!
x 의 계수는 1
x^2의 계수는 -1/2 +1/2 =0
x^3의 계수는 -1/2 + 1/6 = -1/3
x^4의 계수는 1/4! -1/4 +1/4! = 1/12 -1/4 = -1/6 ...
이런식으로 구하는 것입니다.
따라서 테일러 전개는
1+ x - 1/3 x^3 - 1/6 x^4 .... 이런식으로 되겠죠.. 확인해 보면
f' (x) = e^x cosx -e^x sinx = e^x (cosx -sinx )
f''(x) = e^x (cosx -sinx ) +e^x ( -sinx -cosx)
= e^x ( -2sinx )
f''(x) = e^x (-2sinx) + e^x (-2cosx)
이므로 x=0 을 대입해보면
f'(0) = 1
f'(0) = 0
f'''(0) = -2 이런식으로 나오죠..
따라서 테일러 전개는
f(x) = f(0 ) + f'(0)x + f''(0)/2! x^2 + f'''(0)/3! x^3 +....
= 1 +1x -1/3 x^3 +...
으로 나오는 걸 확인할 수 있을 것입니다.
답변이 되었나요?
x=0에서의 테일러 전개를 말씀하신 걸로 알고 풀겠습니다.
f(x) = e^x cos x 라 놓고 n 계도함수를 구하여야 하나, 편법이 있습니다.
(엄밀히 말하면 편법이 아니고, 미적분학에서 엄밀히 증명된 방법이죠.)
e^x 의 테일러 전개는
e^x = 1+ x+ x^2/ 2 + x^3 / 6 + .....
cosx = 1- x^2 /2 + x^4 /4! - x^6/ 6! +... 이죠?
이걸 곱하는 겁니다.
e^x cosx
= ( 1+x + x^2 /2 + x^3 /6 + ...) ( 1- x^2 /2 + x^4/4 + ... )
그러면 상수항은 1!
x 의 계수는 1
x^2의 계수는 -1/2 +1/2 =0
x^3의 계수는 -1/2 + 1/6 = -1/3
x^4의 계수는 1/4! -1/4 +1/4! = 1/12 -1/4 = -1/6 ...
이런식으로 구하는 것입니다.
따라서 테일러 전개는
1+ x - 1/3 x^3 - 1/6 x^4 .... 이런식으로 되겠죠.. 확인해 보면
f' (x) = e^x cosx -e^x sinx = e^x (cosx -sinx )
f''(x) = e^x (cosx -sinx ) +e^x ( -sinx -cosx)
= e^x ( -2sinx )
f''(x) = e^x (-2sinx) + e^x (-2cosx)
이므로 x=0 을 대입해보면
f'(0) = 1
f'(0) = 0
f'''(0) = -2 이런식으로 나오죠..
따라서 테일러 전개는
f(x) = f(0 ) + f'(0)x + f''(0)/2! x^2 + f'''(0)/3! x^3 +....
= 1 +1x -1/3 x^3 +...
으로 나오는 걸 확인할 수 있을 것입니다.
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f(x)=cosx 에서 f(0)=cos0=1일때 cos0.01의...
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exp(1+x+x^2)테일러 전개좀 해주세요 .....