첫번째 질문....
(1) 과 (2) 는 모두 윤환의 순...
2*3*4 이나 3*2*4 나 4*3*2 나 모두 다 같은 답이 나오죠...
즉, 곱셈은 교환법칙이 성립하는 건 사실이잖아요..
(1) 의 경우 인수분해를 하니 (b-c)(a-b)(a-c) 와 같이 세개의 일차식의 곱으로
인수분해가 되어서 답이 나온 겁니다.... 그런데 정리를 조금 더 한 겁니다....
인수들을 자세히 살펴보면, 어딘가 연결된다는 느낌으로 인수의 순서를 바꾸어 놓을
수가 있다는 거죠... 마치 계주 경기에서 바톤을 이어 받듯이 말이죠...
세 인수 중에서 알파벳 순서가 가장 빠른 a 에서 차례대로 시작하게끔..
즉, (a-b) 라는 인수를 가장 먼저 쓰고,
그 다음 b 로 시작되는 인수 (b-c) 를 쓰고,
그 다음 마지막 인수를 쓰려니 마지막 남은 건 (a-c)..
여기서 c 로 이어져야 하는데 a 항이 먼저 있으니, 항의 순서를 바꾸고
다시 c 항의 부호가 마이너스라 각 항의 부호도 바꾸어서 답을 쓴 것이지요...
그러니까, (a-c) = (-c+a) = -(c-a) 이렇게 바뀐 것이지요...
그래서 인수분해 답을 아래와 같이 쓴 것입니다...
(b-c)(a-b)(a-c) = (a-b)(b-c)(a-c)
= (a-b)(b-c)(-c+a)
= (a-b)(b-c){-(c-a)}
= - (a-b)(b-c)(c-a)
(2) 의 경우도 인수분해를 해보니 (b+c)(a+b)(a+c) 가 나왔는데,
a→b→c 순서로 돌아가게끔 인수의 순서를 바꾸어 쓴 것입니다...
꼭 이렇게 윤환의 순으로만 고쳐야 답으로 인정할 수 있다는 건 아니지만, 윤환의 순으로
고쳐 쓸 수 있는 경우는 그렇게 순서를 잡아서 쓰는 경향이 있습니다...
(3)번 문제는 풀이 중에서 다음 부분만 설명 드리면 될 것 같네요..
x²+ 4x - (y+1)(y-3) = (x+y+1)(x-y+3) ... 이게 왜 이렇게 인수분해된
건지만 설명드리면 되죠?
이것은 x 에 대한 이차방정식 인수분해와 똑같이 그대로 한 겁니다...
좀더 어려운 것은 x 에 대한 계수가 숫자가 아니라 식이라는 것이죠...
x² + 3x + 2 를 인수분해할 때,
1 1 = 1
1 2 = 2 ( 서로 엇갈려서 곱하는 거 아시죠..
─── 표현하려니 어떻게 해야할지를 몰라;;)
3 ← 일차항의 계수
와 같이 했듯이....
x²+ 4x - (y+1)(y-3)
1 (y+1) = y+1
1 - (y-3) = -y+3
────
4 ← 일차항의 계수
그래서 인수분해 결과가
{x + (y+1)}{x - (y-3)} = (x+y+1)(x-y+3) 이 된 겁니다....
두번째 질문....
사차 방정식이라서 조립제법을 두번 한 것입니다...
사차방정식을 풀기위해서는 인수분해를 해야 합니다...
고등학교 과정에 나오는 삼차, 사차 방정식을 푸는 문제는 인수분해가 가능한
방정식만 나옵니다.. 삼차, 사차방정식의 근의 공식을 배우지 않으니까요...
그런데, 인수분해는 중학교 3학년 과정에서부터 해왔던 이차식은 인수분해가
쉬운데, 삼차식과 사차식의 인수분해는 이차식처럼 쉽게 인수분해하는 방법이
없습니다...
그래서 인수정리를 응용, 조립제법을 통한 인수분해를 하는 것입니다...
일단은 쉬운 이차식으로까지 조립제법으로 인수를 알아내고, 그 다음은 이차식의
인수분해를 하는 겁니다...
님께서 질문하신 문제는 사차식이라, 조립제법을 한번 하면, 몫은 삼차식....
구해진 몫 삼차식을 나머지가 0 이 되는 수로 다시한번 조립제법을 하면, 몫은 이차식...
여기에서 다시한번 더 조립제법을 써서 인수분해를 해도 됩니다...
그러나, 이차식이니까 중3 때부터 쭈욱 해온 인수분해가 더 익숙할 거라구요...
그러니, 이차식 부터는 그냥 첫번째 질문의 (3) 번 처럼 인수분해 하면 되는 거랍니다...
그런데 님께서 질문하신 이 문제는 조립제법을 두번 한 후 나온 이차식이 인수분해가 되
지 않는 식이라 그대로 답이 된 겁니다...
결론은 님께서 궁금하신 부분...
"왜 인수분해할 때 조립제법을 두번 썼느냐" 는 질문에 대한 답변은
"사차식이라 그렇습니다."
사차식이라서 인수분해가 쉬워지는 이차식을 만들기 위해서 조립제법을 두 번 합니다..
만약, 삼차식의 인수분해라면 조립제법은 한 번 한다는 거구요.....
조립제법 할 때, 인수를 구해야 하므로, 꼭 나머지 부분이 0 인 수를 잘 찾아야 합니다...
문제를 많이 풀어보면 어떤 수로 조립제법을 해야 나머지가 0 일 지 감이 잘 잡힌답니다..
세번째 질문.... 최대공약수(G) , 최소공배수(L) 구할 때,
G │ A B
└─────────
a b ← 여기에서 이 두 수는 더이상 똑같이
나눌 수 없는 수
이때, a 와 b 는 서로 소 라고 합니다...
ab = 40 까지는 나오셨다 하셨죠...
아까 위에서 a 와 b 는 서로 소, 즉 최대공약수가 1 인 두 수이어야 합니다...
두 수의 곱이 40 인 경우는 많습니다...
하지만, 서로 소인 두 수 의 곱이 40 이 되는 것을 찾으면,
1*40 과 5*8 뿐이잖아요...
2*20 이나 4*10 도 40 이지만, 2와 20은 최대공약수가 2...
4와 10 또한 최대공약수가 2 이니 서로 소가 아니라서 안되는 겁니다...
그러니, a 와 b 는 1 과 40 이거나 5 와 8 일 겁니다....
최대공약수가 3 이고, 두 수를 최대공약수로 나눈 값들을 알아냈으니,
이제 두 수를 구하면,
3 │ A B 3 │ A B
└──── 또는 └────
1 40 5 8
A = 3*1 = 3 A = 3*5 = 15
B = 3*40 = 120 B = 3*8 = 24
그래서, 3 과 120 또는 15와 24 가 된 것입니다...
90 번 문제.. 이러한 문제 유형이 항상 최대공약수가 x-1 이라고는 말씀 드릴수가 없구요..
문제에서 쉽게 계산 가능하게 하려고 되도록이면 x-1 또는 x+1 로 나오는 경
우가 좀 많다고 할 수는 있겠습니다...
이 문제는 두 식 A , B 의 최대공약수가 G 라면, 두 식의 합 또는 차는 최대공약수
G의 배수이다.. 에 착안하여 문제를 푼 것입니다...
A = aG, B = bG 일 때, A + B = aG + bG = G(a+b)
A - B = aG - bG = G(a-b)
이므로, 분명히 G 의 배수입니다....
90 번 문제의 두 식은 모두 삼차식... 계수를 모르는 것이 있으니 각각 인수분해하
여 최대공약수를 구하기는 어려운 문제....
그래서, 두 식을 빼어 이차식으로 만든 후 최대공약수를 생각해 보기로 함...
두 식을 뺀 후 인수분해하였더니,
ax(x-1)..... 이 인수들 중에서 일차식의 최대공약수가 있습니다....
가능한 인수는 x 와 x-1....
최대공약수가 x 라면, 문제의 삼차식은 모두 x 라는 인수가 있다는 말이 되는데,
x( ... )(...) 로 인수분해가 되는 식이였다면, 전개했을 때 상수항이 있을 수 없다...
따라서, x 는 최대공약수가 아니다....
그럼, 최대공약수는 반드시 x-1 이어야 한다....
이렇게 해서 구한 거랍니다....
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자세히 설명한다고 했는데 이해가 되시려나 모르겠네요.. ^^
