1. 9를 10으로 나눈 결과를 분자가 모두 1인 서로 다른 3개의 분수의 합으로 나타내면
9 ÷ 10 = ( 1/□)+ (1/☆) + (1/○)
이 된다. □,☆,○ 에알맞은 수를 넣어라.
세 분수를 합하게 되면 □☆ + ☆○ + □○ / □☆○ 이라는 결과가 나오는데요
여기에서 □☆ + ☆○ + □○ = 9a , □☆○ = 10a 라는 것을 알 수 있죠. 여기서 a는 상수로
□, ☆, ○ 이 셋 중 하나와 같은 값 일겁니다. 어차피 셋 다 미지수이니까 □=a라고 해보죠
그럼 □☆ + ☆○ + □○ = 9□ , □☆○ = 10□ 인데 ☆○ = 10 이고 □☆ + ☆○ + □○ 을 □로 나누었을때
9가 나와야 하므로 ☆○ 가 □의 배수임을 알 수 있습니다. ☆○ = 10 에서 ☆,○ 에 들어갈 수로 1,10 과 2,5 가
있는데, (1,10)인 경우에는 □☆ + ☆○ + □○ 을 □로 나누었을때 값이 9를 넘어버리므로 2,5가 됩니다.
그럼 ☆ + ☆○/□ + ○ = 9 이고 ☆+○=7 이므로 ☆○/□ = 2 이고 ☆○=10 이므로 □=5가 됩니다.
따라서 □,☆,○ 에 각각 2,5,5를 집어넣으면 됩니다. (셋다 미지수이므로 순서는 상관없습니다.)
☆○ = 10 에서 1,10인 경우로 해보면 □=-5 라는 값이 나오는데, 그럼 음수인 분수가 하나에, 1이라는 수도
나와버리기 때문에 조건에 부적합한듯 보이네요..
그럼 새롭게 풀어보겠습니다. 아무래도 □,☆,○ 이 세 수는 소수가 아닌가보군요.
흠.. 그런데 10은 2와 5의 곱이나 1과 10의 곱으로만 표현되므로 a는 하나의 수 이상을 포함한다고
볼 수 있겠습니다. 그럼 □=b, ☆=cd, ○=e, a=bc 라 놓고 풀겠습니다. 이렇게되면
bcd+cde+be=9bc, bcde=10bc이고, de=10이 됩니다. d,e가 2,5 인 경우로 계산을 해보면
(1)2bc+10c+5b=9bc (d=2,e=5) 또는 (2)5bc+10c+2b=9bc (d=5,e=2) 인데
(1)의 경우 7bc=5(2c+b) 이고 (2)의 경우 bc=5c+b 입니다.
d,e가 1,10인 경우로 계산해보면
(3)bc+10c+10b=9bc (d=1,e=10) 또는 (4)10bc+10c+b=9bc (d=10,e=1) 인데
세 수가 음수가 아니라면 (4)는 일단 안되는군요.
그럼 다시 (1)의 경우를 살펴보면 2c+b는 적어도 7의 배수가 돼야 하고,
(i) b=5, c=1
(ii) b=5, c=8
(iii) c=5, b=4
(iv) c=5, b=11
(2)의 경우에는 b=5c/(c-1) 이 됩니다. 이 경우엔 c>2 임을 알 수 있네요.
(1)의 경우를 한번 위의 식에 대입해봅시다.
(i) □=5, ☆=2, ○=5
(ii) □=5, ☆=16, ○=5
(iii) □=4, ☆=10, ○=5
(iv) □=11, ☆=10, ○=5
...이건 다 안되네요;; 적어도 수가 10을 넘어가면 9/10 을 완성하기가 힘들어진다는 것은 알수 있네요
그럼 (3)의 경우를 살펴보죠.
(3)bc+10c+10b=9bc (d=1,e=10)
여기서는 5(b+c)=4bc 라는 값이 나오는데,
c=5f 라고 하면 b+5f=4bf 이고, ....
잔뜩 풀어봤는데 모르겠네요.
본적은 있는 문제니 찾아보면 나올지도 모르겟네요..
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2. 5자리 정수 80ㅁㅁ9는 13으로 나누어도, 37로 나누어도 나머지가 2가 된다. ㅁ 안에 알맞은 수를 넣어
정수를 완성하시오.
먼저 우리가 구하고자 하는 5자리 정수를 편의상 x라 표현하겠습니다.
13으로 나누어 나머지가 2 이므로 x=13a + 2 이고 37로 나누어 나머지가 2 이므로 x=37b + 2 라고 쓸수
있습니다. 이 두 식에서 13a = 37b 임을 알수 있죠.
자 그럼 5자리중 알고있는 세 숫자로부터 좀 더 명확하게 알아보죠.
13으로 나누었을때 2가 남았으므로, 13a 는 마지막 자리가 7입니다. 따라서 a의 마지막 자리는 9라는 뜻이죠
다시쓰면 13a = 80ㅁㅁ7 인데, 앞의 두 수가 80 이므로 a는 6000 이상 7000 미만의 수임을 알 수 있습니다.
왜냐하면 13에 6000을 곱하면 78000 이고 7000을 곱하면 91000 이기 때문이죠.
또, 13에 6160을 곱하면 80080 이고 6300을 곱하면 81900 이므로 a는 6160 이상 6300 미만의 수임을 알 수
있습니다. 다시 13에 6169를 곱하면 80197 이고 13에 6229 를 곱하면 80977 이므로 a는 6169 이상 6229 이하
임을 알 수 있습니다. 그런데 13a = 37b 이고 13과 37은 서로소 이므로 a가 37의 배수임을 알 수 있습니다.
그럼 6169와 6229 사이에 있고 37의 배수이며 끝자리가 9인 a는 6179 입니다. 따라서 13a=80327 이고
우리가 구하고자 하는 80ㅁㅁ9 에서 ㅁㅁ에 들어갈 숫자는 차례대로 3, 2 입니다.
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3. a,b,c,d라는 4개의 수가 있고 그 합은 90이다. a에 2를 더한것, b에서 2를 뺀것, c에 2를 곱한것 d를 2로
나눈것 모두 같은수가 된다고 한다. a,b,c,d 이 4개의 수를 구하라
a+b+c+d=90 이고 a+2=b-2=2c=d/2 라고 합니다. 이 힌트를 가지고 한 문자로 정리해보죠.
b로 정리해봅시다. 그럼 a=b-4 이고 d=4c 이며 c= (b-2)/2 , d=2(b-2) 입니다. c가 분수로 표현되므로
a+b+c+d=90 에 2를 곱하고 각 문자에 b에 대한 식을 집어넣으면,
2(b-4)+2b+(b-2)+4(b-2)=180 <=> 9b-18=180 <=> 9b=9*18 <=> b=18 이고, 위에 식에 집어넣어 각 문자의
값을 구하면 a=14 , b=18, c= 8, d=32 입니다.
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4. 차 200g 과 커피 100g 의 가격을 더하면 13000원이고 차 500g 과 커피 400g 의 가격을 더하면
40000원이다. 차 100g의 가격은? 연립방정식을 사용하지 마시오.
흠.. 이 문제는 좀 특이하네요. 연립방정식을 사용하지 말라니.. 애초에 문제에 2개의 미지수가 있고,
식으로 표현하면 두가지 식으로 나오므로 이 문제는 분명 연립방정식으로 푸는 문제입니다.
차의 100g당 가격을 x라고 하고 커피의 100g당 가격을 x의 배수라고 해도 몇배냐는 미지수가 나오기
때문에 연립방정식이 될 수밖에 없습니다. 그럼 연립방정식을 쓰지 말라는 말을
식을 세우지 말고 말로 표현하라는 걸로 이해하고 문제를 풀어보겠습니다
40000만원에서 13000원을 빼면 27000원인데 이것은 차 300g과 커피 300g의 합과 같습니다
그렇다면 차 100g 과 커피 100g 의 합은 9000원이고 13000원에서 9000원을 빼면 4000원인데
이것은 차 100g의 값과 같습니다. 사실 이 풀이는 연립방정식을 사용한 것이나 마찬가지입니다.
만약 이런 식의 아이디어가 정답이라면 문제낸 사람을 거꾸로 매달고 30시간만 흠씬 때려주고 싶군요.
혹시 연립방정식 같은 아이디어가 아닌 다른 아이디어로 풀 수 있나 생각은 해보겠습니다.
더 궁금하신게 있으시면 메일이나 쪽지로 질문주세요.
