1 순환소수는 유리수이다.
일단 유리수의 정의(뜻)부터 알아봐야겠져?
유리수란 분수로 나타낼수 있는 모든수를 가르키는 것입니다..
그럼 정수인 5은 유리수가 아닌가여? 라고 할수도 있지만
5는 분수로 5/1로 나타낼수 있으므로 유리수입니다
즉 분수로 만들수 있으면 모두 유리수에 포함이 되는것이져
다음은 순환소수를 유리수로 환산하는 증명입니다 ^^;; 약간 이해하기 쉽도록 자세히 설명드리겠습니다
X=0.33333...라는 수가 있다고 해봅시다
양쪽에 똑같은 수를 곱하거나 더하거나(기타등등)을 해도 등식은 성립한다고 예전에 배우셨다고 생각됩니다..
X=0.33333... 에다가 양변에 10을 곱해봅시다
10X=3.3333... 가 됩니다
이제 10X=3.3333... 에다가 X=0.33333...을 빼버립시다
10X=3.3333...
- X=0.3333...
을 계산해보면
9X=3이 됩니다(뒤에 소수점이 전부빠져버리져..)
9를 이향하면
X=3/9가 되져..(일단 약분은 안하겠습니다)
이처럼 모든 순환소수(비순환은 당연히 아니져=ㅁ=;)는 유리수로 변환이 가능합니다
간혹(음.. 무조건일려나?) 시험문제에 순환소수 유리수로 변환하기가 나오져...
* 여기서 유리수로 환산하는법을 쉽게하는 비법이 있져 아마 대부분은 아시리라 생각됩니다.
예를 2개 들어보겠습니다
0.6666...이 있다고 해보겠습니다
그럼 소수점 뒤로부터 순환하는 마디수를 세어봅니다
0.6666...은 간단히 6위에 점하나를 찍어서 나타낼수있져..
0.6'(숫자위에 점을 찍는 특문이 없군여=ㅁ=;;)으로 나타낼수 있겠져
여기서 순환하는 마디가 '6' 한자리입니다
순환하는 마디가 한자리면 그냥 분모를 9라고 쓴상태로 순환하는 숫자인 6을 분자로쓰시면
6/9 가 됩니다 그것이 답입니다...
두번째 예로는
0.37' 을 예로 들어보겠습니다
아까 0.6'과는 달리 이번엔 순환마디 앞에 3이라는 숫자가 있져
순환마디에 숫자가 1개 있으면 순환마디앞에 숫자가 없을때 쓰던 분자 9 뒤에 0을 하나추가하시면 됩니다
그럼 0.37'의 분모는 90이 되겠져
분자를 구하는 법은 일단 소수점을 없다고 생각하고 숫자를 씁니다 그럼 37이 되겠져
순환점이 찍혀있던 7을 제외한 숫자를 37에서 빼면 간단히 분자가 나옵니다
즉 37에서 7을 제외하니 3이 되겠져? 그럼 37에서 3을 빼시면
34(이것이 분자가 되는거져)
결과적으로 0.37' 을 유리수로 고치면 34/90 이 되는것이져..
순환마디 앞에 숫자가 2개 있다면 분모는 900이 되겠져 (분자가 128' 이라고 한다면
순환마디 8을 제외하고 128-12가 됩니다 ^^)
시험같은것 볼때를 시간이 부족해서 처음에 보았던 증명하는 식으로는 시간도 걸리고
계산도 귀찮져 -ㅁ-ㅋ 그럴때 쓰면 유용한 간단한 공식(?) 정도 되는것입니다 ^^;;
처음에는 이 공식이 익숙하시지 않으셔도 많은 문제를 연습하시다보면 척봐서
딱 하고 암산이 되버릴정도가 된답니다 ^^;;
2. 유한소수는 모두 유리수이다
아까도 보았듯이 유리수란 분수로 나타낼수 있는 모든수들의 집합입니다 ^^
그리고 유한소수는 끝이 보이는 소수지여 ^^;; 예를 들면 7.12308 등등이 있겠군여...
7.12308을 분수로 고칠수 있다는 것은 알고계시겠져? ^^;;
그러므로 유한소수는 모두 유리수가 되는겁니다
3. 추가내용 (알면 편하다!?)
자연수는 정수에 일부분이며 정수는 유리수의 일부분입니다
문제에서는 그림을 그려놓거나 부등식(,=)등으로 나타내라고 자주나오져;;
후에 유리수는 실수에 실수는 허수,허수는 복소수에 일부분이라고 배우실테지만... 일단은 패스해두져;;
음... 그리고 거의 모든 유리수는 무한소수(순환소수)로 나타낼수 있겠군여
예를 들어 8 라는 숫자가 있습니다
그럼 8은 7.99999... 으로 표현이 가능합니다
그 이유는 간단하게 아까 제가 위에서 가르쳐드린 방법으로 7.9' 을 한번 유리수로 고쳐보아도 되겠구여..
굳이 증명을 하자면 아까 위에서 X=0.3333... 을 했던 방법과 같습니다
10X=79.9999...
X=7.99999... 라고 두고 두식을 빼면
9X=72 가 되고 X=8 이 되져
즉 0.9' 이라는 숫자는 1로 바꿀수 있다는 겁니다
만약 문제에서 102938.999999.... 를 유리수로 바꾸라고 해도
훗 이정도야 하면서 102939 라고 간단하게 풀어버리면 되는것이져 -ㅁ-ㅋ
아 하지만 모든 유리수가 다 바뀌는것은 아닙니다
0이라는 녀석이 있져;;; 이것은 어떻게 하더라고 순환소수로 바꾸지 못하니
시험같은데서 모든유리수는 순환소수로 나타낸다 라든지 나오면 그것은 틀린것입니다 =ㅁ=;;
아 그리고 추가로 알려드리자면
순환하지 않는 소수 즉 비순환소수를 무리수라고 부른답니다 ^^;;
꼭 지금 아시지 않으셔도 되지만...
유리수는 실수에 일부분입니다... 정수가 유리수의 일부분이듯이..
그리고 무리수도 실수에 일부분이져...
즉 유리수가 아닌수는 무리수라는 얘기져.. 적당한예로는 파이(3.14..)나 앞에 루트가 씌어진수가 있겠군여...(물론 루트가 있다고 다 무리수는 아니지만..;;)
즉 상자안에 주머니가 있다면 그 주머니는 유리수이고 주머니를 제외한 부분은 무리수라고 할수있다는겁니다...
어쩌다 보니 무리수 까지 써버렸군여 =ㅁ=;;
아무튼... 제 머리로는 더이상 기억나는게 없네여=ㅁ=;;순환소수의 근사값계산이라는게 있던거 같긴한데;;; 기억이 안나서 죄송하네여 ^^;;(진짜 있긴한건지;;)
순환소수를 잘하시면 나중에 중3 쯤에 배우는 무리수도 쉽게 익히실수 있을실 겁니다 ^^
그러므로 순환소수부터 차근차근 풀어나가셔서 수에대한 부분은 마스터 하실수 있게되길 빌며 전이만 퓽 *ㅅ*;;
