2계 비제차 상미분 방정식 푸는 방법좀요 `

먼저 1번 입니다.

 

여기서 tanx = sinx / cosx 로 바꿔주어야 해요.

피타고라스 법칙에 의해서 저게 성립이 되죠.

 

위에서 Yh가 Acosx + Bsinx 이니

 

y1 = cosx , y2 = sinx

W는 구하셨죠? 1 이 나오지요...ㅎ(모르신다면 쪽지를..)

 

Yp를 구하면,

 

Yp = -cosx ∫ (sinx * sinx / cosx dx) + sinx ∫ (cosx * sinx / cosx) 이지요?

 

여기서 두번째 항에서 cosx가 사라지게 되어서

 

Yp = -cosx ∫ (sin²x / cosx dx) + sinx ∫ (sinx dx) 이렇게 됩니다.

 

Yp = -cosx ∫ (1 - cos²x / cosx dx) + sinx * (-cosx) 가 됩니다.

 

그리고 첫째항을 다시 정리하면,

 

 

Yp = -cosx ∫ (1/cosx - cosx dx) + sinx ∫ (sinx dx)  가 됩니다. (첫째항 cosx을 각각을 묶어줬습니다)

 

그리고 secx 가 1/cosx 입니다. (이정도는 알고계셔야 해요 ^^;)

 

 따라서 Yp = -cosx ∫ (secx - cosx dx) + sinx * (-cosx) 가 되고,

 

이제 첫째항도 각각을 적분해주면 끝입니다.

 

secx의 적분을 알고계실지 모르겠는데.. (이것도 알아두면 편리합니다...ㅋ ^^;)

 

∫ secx dx = lnl secx + tanx l + c 입니다. 그리하여,

 

Yp = -cosx * {(lnl secx + tanx l) - sinx } + sinx * (-cosx)

     = -cosx * (lnl secx + tanx l) + sinxcosx - sinxcosx <- sinxcosx는 없어지죠.

 

따라서 Yp = -cosx lnl secx + tanx l + c 가 됩니다.

 

 

 

 

2번 입니다.

 

 

제가 다 풀어드리는 것 보다, 방법을 알려드리는게 날 것 같아요 ㅋ

 

먼저, y'' -4y' +4y = x^2e^x  에서 λ  = 2 (중근) 이지요.

 

y1 = e^2x  , y2 = xe^2x 입니다.

 

Yp를 구하기 위해서 (일종의 꼼수라고도 하지요..)

 

y'' -4y' +4y 가 = x^2e^x 되기 위해서, 최소 y = (x의 최고차-항이 2차이면 됩니다.)

 

Yp = (ax^2 + bx + c) e^x 로 가정합니다.

 

그럼 (Yp)' = (2ax + b) e^x + (ax^2 + bx + c) e^x 이고 --------  [ (f(x)g(x))' = f(x)'g(x) + f(x)g(x)' 이용 ]

 

        (Yp)'' = (2a) e^x + (2ax + b) e^x + (2ax + b) e^x + (ax^2 + bx + c) e^x    이 됩니다.    [ 동일 ]

 

따라서, a , b, c 에 대한 방정식 3가지가 나오죠 (x^2에 대한, x에 대한, 상수에 대한)

 

아, yp에는 4를 곱하고, (yp)'에는 -4를 곱하는거잊지 마시구요~

 

   4 Yp = 4(ax^2 + bx + c) e^x

 -4(Yp)' = -4 [(2ax + b) e^x + (ax^2 + bx + c) e^x] 이렇게요~ 이다음에 연립하시면 되요.

 

 

그다음 yp =  (ax^2 + bx + c) e^x 여기에 각 미지수를 넣어주면 끝입니다~

 

 

 

 

제가 해드리는건 여기까지구요,

 

혹시나 잘 모르시는게 있으시면 쪽지 보내주세요 ^^ 감사합니다.