중3수학 이차함수 중에서요 (꼭 좀 도와주세요ㅜㅜ)

⑴그래프에 관한 건데요.

위로 볼록 아래로 볼록. 이걸 어떻게 구별하나요?

 

y = ax제곱 + bx + c  가 대표적 이차함수 입니다

 

여기서 x제곱의 계수  즉 a가..  +면  U자 처럼 아래로 뽈록 하구요..

위로 오목 이라고도 합니다.

x제곱의 계수  즉 a가.. - 면 n  이러케  위로 뽈록 해요..

 

 

 

⑵그래프를 그리면 꼭 0점을 지나게 되나요?

꼭 꼭지점이 0점이 아니더라도, 위로 볼록이던 아래로 볼록이던,

왼쪽에 있던 오른쪽에 있던 항상 0점을 지나나요?

 

아닙니다.   

y = x^2        ( ^2  는 제곱이란 뜻이에요 )

같은 식은 x가 0 일때 y도 0을 지나죠..

그런데 y +a = (x +b)^2  이런 그래프는

원래 꼭지점이던 (0,0) 에서 x쪽으로 -b만큼 y쪽으로-a 만큼 움직여요

그래서 영점을 안지나죠.

 

위, 아래로 볼록 하고는 영점 지나는거는 상관 없습니다

 

 

⑶좌표와 절편. 뭐가 다른가요?

 

좌표는 한점의 위치를 말해요  

점P= (3 , 7)   이면 x위치(가로)가3      y위치(세로)가7 이라는겁니다

U 자나 n 자로 휘어져있는 2차함수 그래프는

그2차함수 식에 값을 넣었을때 나오는 무수한 점들을 다~그려넣은거에요

점이 하~도 많아서 선 으로 보이는거죠

 

x절편은 x축위에 있는 점 이라는 얘기입니다

즉 좌표에서의 y값이 0 일때 에요   예를 들면 (a, 0)   (b, 0) 이렇게요

y절편은 y축위에 있는 점 이라는 얘기입니다

y축에 달라붙어 있으면..x 값은 0이 되겠죠?

즉 좌표에서의 x값이 0 일때 에요   예를 들면 (0, a)   (0, b) 이렇게요

 

 

⑷★축의 방정식. 이 뭔가요.

y=0, 그리고 x=0. 이게 무슨 말인지요;;

또, "축"이라는 게 그래프의 중심. 맞나요?

 

 y=0 의 그래프는... x하구 상관없이 y는 무조건 0이라는거에요

x가 1, 2, 3, 4......... 일때   y는 항상 0

좌표로 나타내면 (1,0) (2,0) (3,0) (4,0)..........   이렇게 되죠.

 

그래프 그릴때 좌표평면에 일단 (0,0)을 지나가는 x 축하구 y축 십자가모양부터 그리죠?

위 점들을 연결하면 이때의 가로직선.. 즉   x축.. 하고 같아 진다는거에용

 

 

 

 

⑸y=3x^+2 이 그래프의 꼭지점의 좌표 (0,2)

꼭지점의 좌표 구할때요.

x의 좌표는 꼭 0인가요? 그리고 y 좌표는 뒤에 상수항 고대로 쓰면 되는 건가요?

y=a(x+b)^2+c   라고 써놓아야 정확합니다

^2 는 제곱의 뜻이구요..

이때 이 그래프의 꼭지점은

(-b , c)  에요...

둘다 우변에 놔뒀기 때문에 x는 반대부호를

y는 상수를 그냥 붙여주면 됩니다.

 

단! 조심해야 할 것은

y = ax^2 + bx + c 는 달라요..

일단 y=a(x+b)^2+c 처럼 완전제곱식으로 바꿔야해요..

 

 

 

⑹y=a(x-p)^ → y=-(x-2)^  여기서요.

a=-1이라는 것까지는 알겠거든요?

★근데 대뜸 y=-1 이니까, y=-x^을 기준으로 봐야된다. 이러더라구요.

(강의 보면서 내용 계속 추가중ㅡㅡ)

y=a? 도대체 무슨 말인지 모르겠숩니당ㅜㅜ

 

위에문제에 말한것과 같아요

a는 x제곱의 계수 라는거에요.. 얘가 지금 -1 이니깐 음수죠?

그러면 위로 볼록한 그래프가 됩니당..

 

 

⑺y=-(x-2)^ , y=-x^ , y=-(x+2)^ 이 세 그래프를 비교하는 건데요.

y=-x^(잘 맞는지..)의 그래프가 가운데 있잖아요.

근데 생각과 달리, x+2의 그래프보다 x-2의 그래프가 더 오른쪽이 있더라구요.

그니깐 x에서 2를 더 더해준건데(세번째 함수)

오히려 2를 뺀 그래프보다 더 음의 방향 쪽에 있었다.

이러면 무슨 말인지 아실라나요;;

어떻게 된 건지...

* y=a(x-p)^ 정리중에.

"x-로 보고 그다음에 p를 본다는 것 주의하세요."

라고 했거든요?

x-로 보라. 이게 무슨말일까~요.　　　ㅡㅡ...

 

 

y = (x-a)^2  +  b   에서  보면

x에서a를 빼주죠??     그러면 그래프는 빼준거만큼.. 즉, a만큼 오른쪽으로 가요

그런데.. +b는 x의제곱식 하고 상관없이 따로 놀죠?

이녀석 b 는 y하고만 같이 노는 애이에요..

+b 면  b만큼 그래프가 위로 가요..   

 

x는 더해주는 녀석의 반대로 그래프가 가고

y는 더해주는 녀석의 방향대로 그래프가 간답니다 ^^  꼭 기억하세요

 

 

⑻y=(x+2)^ 이 함수와 y=x^-2 (혹은 y=x^+2)

이 두 함수는 왜 어떻게 다른가요?

 

왼쪽거는 괄호를 풀어주면

y = x^2 + 4x + 4   가 됩니다.. 당연히 오른쪽 거랑 틀리죠..

 

(2 +3)^2 의 경우에  이거는 4 + 9 = 13  이 아니에요..  25가 되지요

괄호의 의미를 다시 생각해보세요 ^^

 

 

y=a(x-p)^ ←이 식에 숫자를 대입한 식이 → y=-(x-2)^ 요렇게 된겁니다.
위의 질문 내용대로 그러니까 a=-1이 되는거잖아요.
그런데 또 말그대로 대뜸 a=-1이니까 y=-1이다. 이런 내용이 나오더라는 거에요
또 y=-1이니깐, y는 -x^을 기준으로 봐야된다. 이러더라구요.
뭔가 알것 같으면서도 아리송송~

제가 질문 하면서도 잘 모르겠네요ㅡㅡ

 

 

a=-1 이니까 y=-1 이다가 아닙니당.

x제곱의계수, 즉, a가 양수면 아래로볼록

음수면 위로 볼록 이에요

 

문제집에 나온말 같은데요 신경 안쓰셔도 됩니다

뭔 가 그 이전 문제에서 나왔었던 것일 수는 있는데

괜히 헤깔리시겠네요.. 그건 잊으세요  

 

(1) 2차함수의 표준형은 이렇게 나타내죠? 

 

     y=a(x-p)²+q

 

어떠한 2차 함수도 위의 식의 꼴로 나타낼 수 있습니다. 이렇게 나타낼 수 없는 식은

2차 함수가 아니라고 봐도 무방하죠.

이 식만 잘 분석하면 그래프가 어떻게 생겼고, 어떻게 그리는가도 알 수 있습니다.

2차 함수의 그래프는 아래로 볼록하거나 위로 볼록한 곡선의 형태를 지니고 있습니다.

위로 볼록하느냐, 아래로 볼록하느냐를 결정하는 것은 바로 a의 부호 입니다. a의 부호가 양수이면 아래로 볼록, 음수이면 위로 볼록한 곡선의 형태를 띕니다. 너무나 간단하죠?ㅋ

예를들어  y=2(x-2)²+4 의 식이라면? a자리에 있는 2가 양수이므로 당연히 아래로 볼록한 그래프가 되겠죠? 마찮가지로  y=-2(x-2)²+4 의 식이라면? 너무나 쉽죠 a자리가 -2이므로 위로 볼록한 그래프가 되는 겁니다.

 

(2) 결론부터 말하면 모든 그래프가 원점을 지나는 것은 아닙니다. 오히려 극히 일부에 불과하죠. 원점의 좌표는 (0,0)으로 나타내는 건 아시죠? 앞의 0은 x좌표, 뒤의 0은 y좌표를 나타냅니다. 그래프가 원점을 지나는가를 알아보려면 그래프의 식에 이 좌표를 대입해 보면 됩니다. 즉, y=a(x-p)²+q와 같은 2차함수의 식에서 x에 0을, y에 0을 대입하여 성립하면, 이 그래프는 원점(0,0)을 지나는 그래프가 되는 것입니다. 비단 원점 뿐만이 아니라 어떠한 점이든 간에 그 점의 좌표를 식에 대입하여 보면 그래프가 그 점을 지나는지 지나지 않는지를 알 수 있습니다. 왜냐하면 이 그래프라는 것은 2차함수를 성립시키는 x와 y 의 집합을 그래프 위에 궤적으로 나타낸 것이기 때문입니다.

 

(3) 좌표라는 것은 그래프상의 어떠한 특정한 점을 가리킬 때 사용되는 말입니다. 예를들어 (4,9)라는 좌표를 보면, x좌표가 4, y좌표가 9입니다. 따라서 x축의 양의방향으로 4만큼, y축의 양의방향으로 9만큼 간 한 점을 나타내는 것입니다.

절편이라는 것도 어느 한 점을 나타내는 것은 맞습니다만, 좌표와는 동등하게 비교할 수 가 없는 개념입니다. ㅋ 절편에는 두 가지가 있습니다. x절편과 y절편이 그것인데, 아주 간단합니다. x절편은 그래프가 x축과 만나는 점이고, y절편은 그래프가 y축과 만나는 점입니다. 간단하죠? 따라서 절편도 좌표로 표현할 수 있는 겁니다. x절편은 x축 상에 있으므로 x절편의 y좌표는 0이 됩니다. 마찬가지로 y절편은 y축 상에 있으므로 x좌표가 0이 됩니다. 즉 이렇게 표현되겠죠. x좌표: (?,0)    y좌표: (0,?)  이런 식으로요. 잘 이해가 안되시면 연습장에 아무 그래프나 그려서 생각해보세요^^

참고로 모든 2차식이 절편을 갖는 것은 아닙니다. 식의 성질에따라 그래프가 그려질 것이고, x절편만 가질수도, y절편만 가질수도, 혹은 둘 다 가지지 않을 수 도 있는 것이죠.

 

(4) 축의 방정식은 그래프의 대칭축을 식으로 나타낸 것입니다. 2차함수의 그래프는 보통 좌우가 서로 대칭인 곡선의 형태를 띕니다. U ← 요렇게 생긴 그래프를 딱 절반으로 나누는 ㅣ← 요 작대기가 대칭축인 것이죠. 여기까진 이해 되시죠? ㅎ 따라서 모든 2차함수의 그래프는 대칭축을 가집니다. 그리고 대칭축은 상수함수의 형태로 나타나는 것이죠.. 왜냐하면 대칭축은 y축과 평행하거나 x축과 평행하기 때문이죠. (이해하시기 어려울지도 모르지만 x축과 평행한 대칭축이 나타나는 이유는 ⊂ 요런 그래프나  ⊃ 요런 그래프도 존재하기 때문입니다-_- 중학교 수준에서는 보통  y축과 평행한 대칭축이 나타날 것이니 너무 걱정하지 마세요;;)

y=0, x=0 이라는 것은 x축과 y축을 다른식으로 표현한 것에 지나지 않습니다. y가 0인 모든 점들의 집합은? 좌표평면을 그려놓고 살펴보세요.. x축이죠? ㅎ 마찬가지로 x=0 은 y축을 나타내는 것입니다.

 

(5) y=3x²+2에서 꼭지점의 좌표를 구하는 방법은 아주아주 간단합니다.

앞서 (1)에서 설명했듯이 모든 2차함수의 식은 y=a(x-p)²+q 의 꼴로 나타낼 수 있습니다.

이 표준형의 식에서 꼭지점은 바로 나와 있습니다. (p,q)가 바로 꼭지점입니다.. ㅎㅎㅎ

너무 허무한가요-_-; 그럼 주어진 식을 봅시다~ 보시다시피 y=3x²+2 도 표준형의 식과 같습니다. 다르다구요? 이렇게 바꿔보면 어떨까요..

 

y=3x²+2

  =3(x-0)²+2

 

이해 되시나요? 즉, 주어진 위의 식은 표준형의 식에서 p=0인 셈이 되는 겁니다.

따라서 꼭지점의 좌표는 (0,2)가 되는 것이죠.

 

(6) y=a(x-p)²  →  y=-(x-2)²

 

질문의 요지를 잘 모르겠습니다;; a=-1 인것까지는 이해하신다고 했는데...

추가질문 해주세요;;

 

(7) 이 질문 또한 이차함수의 표준형  y=a(x-p)²+q 이것만 잘 이해하시면 되는 겁니다.

앞서 (5)에서 설명한 것과 일맥상통 하네요. 꼭지점의 좌표를 나타내는 것은 p와 q 입니다. p앞에 음의 부호(-) 가 붙는 다는거 주의 하셔야 합니다. 여기서 포인트 입니다 ㅎㅎ

y=-(x-2)² , y=-x² , y=-(x+2)²

 

따라서 왜 y=-(x-2)² 가  y=-(x+2)² 보다 더 오른쪽에 있는 줄 알겠죠.. 꼭지점이 각각

(2,0)과 (-2,0)이니 그럴 수 밖에요... ㅎㅎ

x-로 보라는 말은 p앞에 음의부호(-)가 붙는다는 말의 다른 표현입니다. p만 독립해서 생각하라는 말입니다.

 

(8) y=(x+2)² 과 y=x²-2 의 차이는요..

역시 표준형만 잘 이해 하시면.. 쿨럭;;

표준형  y=a(x-p)²+q 과 위의 식들을 비교해 보세요.

y=(x+2)² 는 y=(x+2)²+0 으로 표현할 수 있고, 따라서 꼭지점은 (-2,0) 입니다.

y=x²-2 는 y=(x-0)²-2 으로 표현할 수 있고, 꼭지점은 (0,-2) 가 되는 겁니다.

 

두 그래프는 모양은 같고 위치만 다른 그래프가 되겠군요.

 

 

 

쉽게 쓴다고 썼습니다만, 이해가 되셨는지 모르겠네요-_-

글엄 열공하세요~ 수학 알고보면 재미납니다 ㅠ.ㅜ