정오각형에서 벡터의 합들이 영벡터 질문
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정오각형에서요 중심에서 각 꼭지점에 이은 벡터의 합들이 0벡터던데 왜 그런거죠?
좀 자세하게 적어주세요.
정오각형에서요 중심에서 각 꼭지점에 이은 벡터의 합들이 0벡터던데 왜 그런거죠?
좀 자세하게 적어주세요.
정오각형에서 벡터의 합들이 영벡터 질문
익명 작성일 -
먼저 정오각형을 좌표평면위에 놓습니다. 정오각형의 중심을 원점에 위치하게 하고, 한 꼭지점이 (1, 0)에 오도록 합니다. (만약 정오각형이 좀 크거나 작아서 한 꼭지점이 정확히 (1,0)에 오지 않는다면 앞으로 나오는 설명에 적당한 값 r을 곱해서 생각하시면 됩니다. 어차피 합이 0이 되는 문제이기 때문에 좀 늘이거나 줄여도 답은 전혀 변하지 않습니다.)
1. 만약 2차원에서 벡터 계산 문제가 복소평면에서 복소수를 사용한 계산 문제와 같다는 걸 아신다면, 다섯 개의 꼭지점의 위치는 각각 1, z, z^2, z^3, z^4이 됩니다. 여기서 z는 z^5 = 1을 만족시키는 복소수 중 편각이 가장 작은 것입니다. 따라서 z^5 - 1 = 0을 인수분해하여 z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0 을 얻게 되므로, 각 꼭지점에 해당하는 다섯 개의 복소수를 더하면 0이 되어 벡터의 합도 0이 됩니다.
2. 위의 설명을 모르시겠다면 대칭성을 이용하셔도 됩니다. 정오각형에서 중심에서 꼭지점을 이은 벡터의 합이 영벡터가 아닌 어떤 벡터 v라고 합시다. 이제 정오각형을 중심을 기준으로 72도 회전시키면 v도 72도 회전하게 됩니다. 그런데 회전해서 얻은 정오각형은 처음의 정오각형과 완전히 똑같습니다. 따라서 중심에서 꼭지점을 이은 벡터의 합은 여전히 v가 됩니다. 즉, v를 72도 회전시키면 처음과 같은 벡터가 됩니다. 영벡터가 아닌 경우 이는 모순이므로 중심에서 각 꼭지점에 이은 벡터의 합은 0입니다.
삼각함수로 각 꼭지점을 놓고 계산하는 방법도 있는데, 계산이 너무 길어질 듯 싶습니다.
먼저 정오각형을 좌표평면위에 놓습니다. 정오각형의 중심을 원점에 위치하게 하고, 한 꼭지점이 (1, 0)에 오도록 합니다. (만약 정오각형이 좀 크거나 작아서 한 꼭지점이 정확히 (1,0)에 오지 않는다면 앞으로 나오는 설명에 적당한 값 r을 곱해서 생각하시면 됩니다. 어차피 합이 0이 되는 문제이기 때문에 좀 늘이거나 줄여도 답은 전혀 변하지 않습니다.)
1. 만약 2차원에서 벡터 계산 문제가 복소평면에서 복소수를 사용한 계산 문제와 같다는 걸 아신다면, 다섯 개의 꼭지점의 위치는 각각 1, z, z^2, z^3, z^4이 됩니다. 여기서 z는 z^5 = 1을 만족시키는 복소수 중 편각이 가장 작은 것입니다. 따라서 z^5 - 1 = 0을 인수분해하여 z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0 을 얻게 되므로, 각 꼭지점에 해당하는 다섯 개의 복소수를 더하면 0이 되어 벡터의 합도 0이 됩니다.
2. 위의 설명을 모르시겠다면 대칭성을 이용하셔도 됩니다. 정오각형에서 중심에서 꼭지점을 이은 벡터의 합이 영벡터가 아닌 어떤 벡터 v라고 합시다. 이제 정오각형을 중심을 기준으로 72도 회전시키면 v도 72도 회전하게 됩니다. 그런데 회전해서 얻은 정오각형은 처음의 정오각형과 완전히 똑같습니다. 따라서 중심에서 꼭지점을 이은 벡터의 합은 여전히 v가 됩니다. 즉, v를 72도 회전시키면 처음과 같은 벡터가 됩니다. 영벡터가 아닌 경우 이는 모순이므로 중심에서 각 꼭지점에 이은 벡터의 합은 0입니다.
삼각함수로 각 꼭지점을 놓고 계산하는 방법도 있는데, 계산이 너무 길어질 듯 싶습니다.
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