수학에서 말하는 '형식불역의 원리' 라는 것이 있습니다
형식불역의 원리라는 것은, 어떤 개념이나 이론, 또는 사상 등을 확장시킬때
확장되기 이전의 구조를 그대로 유지시킨 채 확장을 해 나가는 것을 말합니다
수의 확장은 오랜 세월동안 이루어져 온 것입니다.
자연수에서 유리수, 그리고 무리수가 등장하고, 음수가 받아들여지고, 다시 복소수까지...
이런 일련의 과정은 처음에는 실용적이고 경험적인 측면에서의 확장이었지만
뒤로 갈수록 이론적인 측면에서의 확장으로 변모됩니다
조금 원론적인 얘기를 해보자면, 실상 우리가 수를 확장을 해온 것은 방정식과 밀접한 연관이 있습니다
자연수에서 유리수, 무리수, 그리고 음수가 받아들여지는 과정은
방정식을 푸는데, 우리가 가지고 있는 기존의 수체계에서는 해가 존재하지 않는 방정식들이 생기니까
그러한 방정식들에게 해를 부여해주기 위해 수를 확장해 간 개념이 강합니다
(특히 음수의 경우는 그렇죠)
실제 과거에는 음수 라는 개념을 받아들이기까지 굉장히 큰 진통이 있었답니다
0 이라는 수는 아무것도 없는 것인데, 아무것도 없는것보다 더 작은 것이 있을수 있느냐하는 생각에서였죠
하지만 결국 지적 욕구를 충족시키기 위해 수학자들은 음수를 도입하기에 이르렀고
이러한 음수의 정확한 의미는 온도계에서 영하의 개념이 생기면서부터 조금씩 이해되어지기 시작했습니다
그 이전까지만해도 음수 또한 실제로 존재하지 않는, 일종의 가상의 수였죠
허수 또한 그렇습니다. x^2+1=0 과 같은 방정식은 실수 범위에서는 해를 가지지 않죠
이러한 방정식들 또한 해를 가지게 하기 위해서 수학자들은 허수라는 개념을 도입하게 됩니다. 순수한 지적 호기심의 발로였죠
그런데 이 허수가 수학적으로나, 실생활의 문제를 해결하는 면에서나 아주 중요한 역할을 한답니다
대표적인 예를 들어서 미분방정식을 풀때나, 또는 어떤 함수의 성질을 결정할때도
그 함수의 정의역과 공역을 실수로 제한했을때는 대단히 풀기 힘들고, 심지어는 푸는 것이 불가능한 문제도
그 영역을 복소수(복소수란 실수와 허수를 포함한 수집합입니다)로 확장하면 아주 간단하게 풀려버리는 경우가 많죠
그리고 복소수 이후로는 수체계를 확장하지 않고 있습니다^^;
왜냐하면 복소수 범위에서는 더이상 해를 가지지 않는 방정식이 존재하지 않거든요
즉, 복소수 범위에서는 모든 방정식이 해를 가지게 됩니다
형식불역의 원리라는 것은 이렇습니다.
'수' 체계에서 구조 라고 하는 것은, 결국 주어진 연산에 대한 구조입니다
다시 말해, 기존에 주어진 수체계 적용되던 연산법칙들이, 확장된 이후의 수체계에서도 그대로 적용되게끔 하는 것을 말합니다
뭐 약속이라고 할수도 있고 이렇게 정의했다고 생각할 수도 있겠죠
중요한 것은, 기존 체계의 구조를 그대로 유지시킨다는 관점입니다
수를 확장했으되, 기존의 구조가 유지되지 않아 이미 있어왔던 여러가지 성질들이나 이론들이 적용되지 않는
아무것도 없는 허허벌판의 맨땅을 만들자고 수체계를 확장하는 것이 아니니까요
이전에 있던 여러가지 성질들이나 유용한 법칙들을 그대로 이어받을 수 있게끔 수를 확장시킨다는 생각인 겁니다
뭐... 도움이 되었길 바라구요~ 혹시나 더 궁금하신게 있으시다면 쪽지주시길~
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그러니까... 허수라는 것 자체가 이미 실생활에서의 어떤 사물이나 활동을 통해 형성된 개념이 아니라
우리의 정신과 논리적인 사고를 통해서 생성되어진 개념일 뿐입니다
실생활과 이를 자꾸 결부시킬려고 하면 오히려 어려움에 부딪힐 수밖에 없습니다
쪼끔 이해를 돕기 위해 다른 예를 들어봅시다.
새로운 자동차를 만들려고 구상하고 있다고 생각해 봅시다
새로 만들려고 하는 이 자동차는, 땅을 기어다니는 자동차가 아니라 하늘을 날아댕기는 전혀 새로운 방식의 자동차입니다
이러한 자동차를 만들려고 할 때, 우리는 먼저 자동차를 구성하는 기본적인 뼈대라든지, 엔진이라든지,
하는 부품들과 그 부품들의 구성을 먼저 결정해야 합니다
-뭐, 전 순수 수학도인지라 이부분에 대해선 자세히는 모르지만...;;-
그것을 결정하는 것에 있어서, 우리는 전혀 새로운 방식을 도입할 수도 있겠지만
가능하다면 기존에 존재하는 자동차들의 부품, 그리고 그 부품들을 구성하는 방식을 이용하거나
또는 모방하려고 할 것입니다
그것과 같습니다.
복소수의 연산에 있어서 연산법칙들은, 필연적이며 연역적인 것이 아니라
결국은 선택의 문제입니다
그런식으로 연산법칙이 성립하도록 우리가 선택했다는 것이 가장 정확한 표현일 것입니다
실제로, 자연수에서 정수, 정수에서 유리수, 유리수에서 실수로 수를 논리적으로 확장함에 있어서
기본적인 연산(덧셈과 곱셈)은 항상 새롭게 정의됩니다
즉 자연수집합에서의 덧셈과 곱셈의 정의는, 유리수에서의 덧셈과 곱셈의 정의
실수에서의 덧셈과 곱셈의 정의는 모두 다릅니다
다만, 실제 학교에서는 수의 확장을 다분히 이를 직관적으로 가르치고
또한 집합적인 구조를 그다지 강조하고 있지 않기 때문에
마치 이 연산들이 모두 동일한 것처럼 얘기합니다
허나 실제로는 이들은 모두 다른 연산입니다
-조금 더 설명하면, 연산이라는 것은 결국 집합과 결부된 것입니다
집합의 구조를 결정하는 것은 그 집합에 주어진 연산이며, 연산이 달라지면 집합의 구조는 변할 수 있습니다(같은 집합이라 하더라도)
그리고 그 연산은 그 집합 상에서 정의된 것이기 때문에, 그 집합 이외의 집합에선 효력을 발휘할 수 없습니다-
조금 어려운 얘기가 될 수도 있겠지만... 결국 연산의 성질은 연산의 정의에 근거한 것이고
그러한 연산의 정의는 우리들의 선택의 문제입니다
집합을 확장하고, 확장된 집합에서 새롭게 연산을 정의함에 있어서
확장되기 이전의 집합에서 정의되었던 연산과 동일하거나 비슷한 메커니즘을 가지게끔 연산을 정의하는 겁니다
-다시 말하면 집합의 구조가 동일하거나 비슷하게끔 정의한다고 얘기할 수도 있겠죠-
따라서 "어떻게 해서 그러한 연산법칙들이 성립하느냐" 라는 질문은 조금 초점이 빗나간 질문이 되는 겁니다
"어떻게 정의하면 그러한 연산법칙들이 성립하느냐" 라고 질문하는 것이 제대로 핵심을 찌른 질문이 되겠죠
쩝 -_-ㅋ 쫌 어려운 얘기일 수 있습니다
혹시나 나중에 대학교 진학시에 수학과나 수학교육과 같은 과로 진학하시게 된다면...
배우시게 될겁니다 이런 얘기들 -_-ㅋ
