중3수학 근호를포함한식의계산

실수의 대소관계를 하시려면, 무리수의 덧셈 뺄셈을 우선 아셔야 해요~

쉽게 설명해드릴게요~

x + x = 2x 라는것을 알면 무리수의 계산도 같은 원리로 해결하실 수 있답니다.

x 라는것은 앞에 1이 생략된 미지수인거 아시죠?

1x + 1x = 2x    x 앞의 계수(숫자)만 더해주시면 되는거에요~

 

√의 계산도 마찬가지에요

√2  + √2 의 계산도 1√2 + 1√2 로 생각을 하시고 = 2√2 가 되겠죠?

 

마찬가지로 님이 두번째로 해주신 질문의 답변으로 넘어가면,

 

3-√5-3-√5 하는법.

 

3  - √5   -  3   -  √5    ★숫자는 숫자끼리, 문자는 문자끼리 계산한다.

3 - 3 = 0

- √5 - √5 = -1√5 -1√5  = -2√5

그래서 -2√5가 나온겁니다~

 

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√3+3 , 5  의 대소관계

 

순서는 상관이 없지만, 그냥 앞에서 뒤에것을 빼보는걸로 알려드릴게요~

① 앞에서 뒤를 뺍니다.

      √3 + 3 - 5

 ② 위에서 말씀드린것 같이, 숫자는 숫자끼리 문자는 문자끼리 계산합니다.

      여기선 숫자만 계산이 가능하겠죠?

      √3 - 2 가 되겠네요  ( 3 - 5 = -2)

  ③ 모두 √ 꼴로 고쳐본다. 방법은 √가 아닌 수(유리수)에 제곱(²)값을 써주시면 됩니다.

        여기서는 -2를 고쳐야 하므로 2의 제곱은 4죠? 그래서 -√4 로 고쳐줍니다.

       √3 - √4

  ④ 값이 0보다 큰지 작은지 확인.

       √3 - √4    작은수에서 큰수를 빼니 당연히 0보다 작겠죠?

       √3 - √4

  ⑤ 마지막이네요..

        위의 ④번에서 표시한 방향(

        √3 + 3  

 

 

2. 2, √7-1 의 대소관계 (복습차 똑같이 한번 더 해보져)

① 앞에서 뒤를 뺍니다.

      2 - (√7 - 1)     (다항식일 경우 괄호는 꼭 칩니다.왜냐면 부호가 다 바뀌어야 하니까)

      2 - √7 + 1

 ②  숫자는 숫자끼리 문자는 문자끼리 계산합니다.

      여기서도 숫자만 계산이 가능하겠죠?

      3 - √7 이 되겠네요.     (2 +1 =3 )

  ③ 모두 √ 꼴로 고쳐본다. 방법은 √가 아닌 수(유리수)에 제곱(²)값을 써주시면 됩니다.

        여기서는 3을 고쳐야 하므로 3의 제곱은 9죠? 그래서 9로 고쳐줍니다.

        √9 - √7

  ④ 값이 0보다 큰지 작은지 확인.

       √9 - √7    큰수에서 작은수를 빼니 당연히 0보다 크겠죠?

       √9 - √7 > 0     이렇게 표시를 해줍니다.

  ⑤ 마지막이네요..

        위의 ④번에서 표시한 방향( > )이 곧 정답입니다^^

        2 > √7-1

 

아주 쉽게 설명을 해보았는데,

좋은 답변이 되었으면 하는 바람입니다~

열공하시고 또 모르는거 있으시면 언제든 질문해 주세요~

답변확정 부탁 드려요`~^^

안녕하세요

원리만 알면 정말 간단한 문제 입니다

 

답변을 해드리죠

 

 실수의 연산은(더하기 빼기 곱하기 나누기)같은 종류끼리 묶어서 해야 합니다

 

님 중 2 수학 식의 계산이서

 

x+y+2y+100x=??

님 이거 어떻게 푸셨습니까?

 

아마도 계수가 같은 것끼리 더하셔서 101x+3y가 나왔죠??

 

실수의 연산도 똑같습니다

 

루트부분이 같은것끼리 계산을 하는거 입니다

 

즉 루트 붙은것 끼리 계산을하고 안붙은것 끼리 계산을 하는 것입니다

 

그런데 루트2 더하기 루트2는 왜 2루트2가 되는지 해깔리죠?

 

여기서 말한 루트2는 1*루트2(1곱하기 루트2)입니다

 

쪽지 보냈씁니다 꼭 보세요

즉 다시말해서 루트2 더하기 루트2=(루트2 곱하기1)+(루트2 곱하기 일)

이런 개념입니다

(루트2 곱하기1)+(루트2 곱하기 일)이 식에서 분배법칙을 이용하여서 루트2를 공통으로 뽑아냅시다

이해가 안간다고요??

다시말해 xy+xz같은것을 x(y+z)로 바꾸는 것입니다

 루트2를 분배법칙을 이용하여 뽑아내면 루트2(1+1)이죠??

그럼 루트2 곱하기 (2)죠?

그래서 2루트 2 입니다

 

그럼 루트2+루트3은 루트5일까요??

 

아닙니다  이런것은 그냥 계산을 못합니다

 

루트2 더하기 루트3은 그냥 루트2더하기 루트3입니다

왜냐하면 루트2랑 루트 삼은 같은 종류가아니잔아요

 

상수항은 같은 종류니까 계산을 할수있습니다

 

예를들어 물하고 기름 은 섞입니까?

 

안섞입니다

 

왜냐하면 같은 종류가  아니니까 안섞입니다

 

그럼 루트2라는 종류랑 루트3이라는 종류랑 섞이지 않는건 당연한거입니다

1. √3+3 , 5    

 

먼저 이것은 √3+3 -5=√3-2 입니다.

√3=1.7xx입니다.

따라서 √3-2=1.7xx-2=-0.3xx

음수가 나오네요. 그러니 5가 더 큽니다..

 

 

 2. 2, √7-1 

이것도  2-(√7-1)= 2-√7+1=3-√7 

√7=2.xx입니다

따라서    3-√7=3-2.xx=0.xx

양수네요.  그러니 2가 더 큽니다

 

 

 

3-√5-3-√5 하는법

 

우선 유리수끼리,무리수끼리 묶으면

3-√5-3-√5

=(3-3)+(-√5-√5)

=0+-2√5

=-2√5

 

여기에서,,,,

음수끼리 더하면 음수가 나온다는 것은 알고 계시겠죠???

 

그러니 -√5+-√5 가 -2√5가 나오게 되는 것입니다,,,,,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

음... 이거는 어렵기 보다는 개념을 잡기가 어려운 부분이죠. 루트라...

님의 첫번째 질문 답은은요.

√3+3 , 5  가 이렇게 있는데. 일반적으로 두수 X,Y가 있다고 칩시다.

그리고 쉽게 생각하기 위해서 두수는 모두 0보다 크다고 가정하고

X>Y라고 가정을 하면

X-Y>0 되야만 합니다.

예를 들면요. 2>1 이 있는데 2-1>0이 되는것은 당연한거죠?

이거랑 비슷하게 (저는 딱 봣을때 답을 알았기 때문에 가정을 쉽게 합니다...)

5가 √3+3다 크다고 가정을 합시다.

그러면 5-√3+3이 양수가 되어야 정상이죠?

그런데 님 루트의 기본개념은 잡혀 있는지 모르겠내요.

근호랑 루트는 같은 말이구요. 근호3은 √3이고 (√3)의 제곱은 3이죠.

따라서 2의 근호는 루트4가 돼는게 맞죠? 그런데 루트3이 루트4보다 작기 때문에

루트3은 자연수2보다 작은게 맞죠? √3+3 은 3+(2보다 작은 무리수)잔아요.

이것은 5보다 작죠. 그렇기 때문에 5-√3+3>0 다 크다는 결론이 나옵니다.

이 결론은 5가 더 크다는 것과 같은 말리구요.

√3+3-5 가 되어도 별 상관 없어요.  빼고 난 값이 0보다 크면 앞에 있는 수가 뒤에서 빼주는 수보다 큰거고, 빼고 난 값이 0보다 작으면 뒤에 있는수가 앞에 있는수보다 크다는 소리죠.

2번째 질문에 답변들어가겠습니다.

3-√5-3-√5에 보면 자연수와 무리수가 있죠. 자연수는 3을 말하는거고 무리수는 근호5를 말하는건 당연히 아시겠죠.(님이 유리수를 잘 아시는지. 유리수가 아닌것은 무리수라고 보시면 되요. 지금은... 고딩가면 또 더큰 개념을 배우겠지만요.)

3-√5-3-√5 에 자연수는 자연수 끼리 무리수는 무리수 끼리 빼주시면 됍니다.

아 그리고 숫자 앞에 플러스나 마이너스등의 부호는 바로뒤에 있는 숫자와 항상 붙어 다니는 겁니다.

3-√5-3-√5 를 풀기 쉽게 정리하면 3-3-√5-√5 가 돼죠. 그러면 자연수는 자연수끼리 빼줘 봅시다. 3에서 3빼면 0 맞죠? 0은 쓸필요가 없습니다.

-x-x는 -2x가 되는거 아시겟죠?(이런거나 조금더 기초적인거 잘 못하시면 나중에 갈수록 더 힘들어져요.)

-√5-√5 은 루트앞에 아무 숫자도 없지만 1이라는 상수가 항상 붙어있기로 수학자들끼리 약속을 했습니다. 그리고 그숫자를 안써도, 보이지 않아도 있는것으로 쳐주기로 했어요.

따라서 풀어쓰면 -1√5-1√5 가 됍니다. 이것은 -2√5가 됍니다.

결국은 0-2√5가 되었고 이것은 -2√5과 같은 것입니다.

무리수나 유리화 같은 단원은요, 개념을 다시 잡아주는 단원이에요. 연산이나 공식 이런게 아니라. 따라서 님이 그것에 대해 왜그럴까 하고 더 생각하고 정 안돼겠으면 그런가 보다 하고 넘어가는게 훨씬 나을수도 있어요. 그리고 이런것은 교과서부터 연습해 나가면 나중엔 금방금방해요. 그리고 이 과정을 잘 못하면 고1때 허수라는 것을 배우는데 거기서 더 심화과정으로 못가니깐 수학은 그때그때 열심히 하세요. 화이팅~~!

아 그러고 보니깐 윗님이 개념을 잘 정리해서 써주시긴 했는데. 루트를 숫자로 나누면 무한대로 나누어 지거든요. 그거 외우는건 시간 낭비에요.

그리고 루트의 집합도 무한하기때문에 외우는건 불가능합니다. 단지 시험보는 속도를 위해 자주 쓰는거 몇개 외우는게 전부이죠.

 

[질문]

근호를 포함하는 식의 계산하는법좀 알려주세요. 문제 만들어서요~  실수의 대소관계할때 뺄셈.. 못하겠어요.  알기쉽게 자세하게 설명해주세요~

 

1.   √3+3 , 5,

2.   2. 2,   √7-1 

3.  3-√5-3-√5 을 계산하시오.

 

 

[해설]

근호를 써서 나타내는 수를 무리수라고 합니다.

무리수의 대소 관계와 덧셈과 뺄셈을 같이 공부해 보십시다. 

 

[1] 무리수의 대소 관계.

근호가 있는 무리수끼리 비교할 때는 그 무리수를 제곱하여 크기를 비교합니다. 그러나 어떤 두 수의  크고 작음을 밝힐 때는 보통 그 두 수의 차를 구하거나 비를 구하여 비교합니다.

질문하신 내용을 보면, 차를 비교하면 되는 문제입니다. 같이 보십시다. 먼저 두 수의 차를 비교하는 방법을 기억해 봅시다.

 

두 수 a, b 의 차즉, a - b에서,

      1) a - b > 0 이면 a > b

     2)  a - b = 0 이면 a = b

     3)  a - b < 0 이면  a < b

입니다. 그렇지요? 이 요점을 적용해 보겠습니다.

 

(1)   √3+3 과  5

이 두수의 대소를 비교하기 위해 차를 생각해 보면,

      (√3+3)   -  5   =    √3 + (3  - 5  )  = √3  - 2

  이고, √3  과  2 를 제곱하면 (√3)² = 3,   2² = 4 이므로, 

               (√3)²  = 3  <   2²  = 4 입니다.

 

  따라서 √3  <  2 이므로 √3  -  2 < 0 입니다. 그렇지요?

 

그러므로 (√3+3) - 5  = √3 + (3  - 5 )  = √3  - 2 < 0 이므로,  (√3+3) - 5< 0 에서

       (√3+3)   <  5 입니다.

 

아시겠지요?

이제 두 번째 문제를 보시면,

 

(2) .   2. 2,   √7-1 

이 두 수의 대소를 알기 위해 두 수의 차를 구해 보면

     2.2  -  ( √7 - 1 )  =  2.2 - √7 + 1   =  3.2  -  √7

이고,  3.2와 √7 을 제곱하면 3.2²  = 10.24, (√7)² = 7이므로,  3.2 > √7 입니다.

 

  따라서 3.2  -  √7 > 0 입니다. 그렇지요? 

그러므로   2.2  -  ( √7 - 1 )  =  3.2  -  √7  >0 에서

    2.2  -  ( √7 - 1 )   >0 이고, 2.2  >   √7 - 1

입니다. 아시겠지요?

 

여기서 루트와 유리수의 대소를 알기 위해 서로 제곱을 해서 알게되는데, 이것은 흔히 사용하는 방법입니다. 기억하세요.

이제 마지막 문제를 보십시다. 먼저 무리수를 계산하는 법을 보십시다.

 

[2] 무리수의 덧셈 뺄셈

근호안의 수가 같은 수끼리  더하거나 뺍니다.

즉, a ≠b일 때,  두 수 √a 와 √b 는 더하거나 뺄 수 없습니다. 아시겠지요?

 즉 √2 와 √3 은 서로 더하거나 뺄 수 없습니다.

그러나 3√2 와 7√2 는 더하거나 뺄 수 있습니다. 

3√2 + 7√2 = (3+7)√2 = 10√2 ,    3√2 - 7√2  = (3-4)√2  = -1√2 = -√2

와 같습니다.

만일

9√2 - 5√3   + 7√2  - 10√3

과 같이 근호 안의 수가 서로 다른 경우에는 근호 안의 수가 같은 무리수끼리 모아서 계산해 주어야 합니다. 

즉,

        9√2 - 5√3   + 7√2  - 10√3

       =  9√2 + 7√2  - 5√3   - 10√3

       =  (9√2 + 7√2)  - (5√3  + 10√3)

       =  16√2  - 15√3  

과 같습니다. 여기서 더 이상 간단히 될 수 없다는것을 명심하셔야 합니다. 아시겠지요?

    마치

         2a + 5b - 7a - 2b 

를 계산할 때, 같은 문자끼리 (즉, 동류항) 계산하여

        2a + 5b - 7a - 2b = 2a - 7a + 5b - 2b = -5a + 3b

처럼 간단히 하는 것과 같습니다. 아시겠지요?

이제 문제를 같이보십시다.

 

(3)   3-√5-3-√5 을 계산하시오.

 

이러한 무리수와 유리수가 섰여 있는 식의 계산에서는 앞에서 강조해 드린 것과 같이

" 유리수는 유리수끼리, 무리수는 무리수끼리 계산"해야 한다는 요점을 기억하셔야 합니다. 아시겠지요?

 

유리수와 무리수는 서로 수의 종류가 다르므로, 즉 서로 다른 수이므로 서로 계산할 수 없고, 유리수끼리, 무리수끼리 계한한다는 점을 명심하시기 바랍니다. 이해되시지요? 

 

그러므로,

 3 - √5 - 3 - √5

  = 3 - 3 - √5 -√5

  = (3 - 3) - ( √5 + √5 )

  =  0 - 2√5

  =  - 2√5

가 됩니다. 이해되시지요?

 

도움이 도시기 바랍니다.

열심히 공부하셔서 훌륭한 수학도가 되세요.

수고하세요.